動機

先日、私は公共交通機関で市内を旅行していましたが、2つの場所間の最短接続を見つける問題をモデル化した興味深いグラフ問題を作成しました。

我々は、すべての古典的な「最短経路問題を」知っている：有向グラフを考えるとエッジの長さW E ∈ R + 0$G=(V,E)$と2つの頂点 S 、T ∈ V、の間の最短経路を見つける S及び Tを（すなわち、トータルエッジ長を最小パス）。負でないエッジ長を想定すると、さまざまなアルゴリズムがあり、問題は簡単です。$w_e\in\mathbb{R}_0^+,\,e\in E$$s,t\in V$$s$$t$

これは、たとえば、歩いている場合に適したモデルです。頂点は道路ネットワークの交差点であり、各エッジには固定長があります（たとえば、メートル単位）。エッジの重みの別の可能な解釈ある時、それは他の頂点の1から行くために私たちを取ります。これは今私が興味を持っている解釈です。$w_e$

問題

次の状況をモデル化したいと思います。市内のA地点からB地点まで公共交通機関で移動し、時間を最小限にしたいと考えています。公共交通機関ネットワークは、予想通り、有向グラフとして簡単にモデル化できます。興味深い部分は、エッジの重み（そのモデル時間）です-公共交通機関（バスなど）は特定の間隔でのみ出発し、ストップごとに異なります（グラフの頂点）。つまり、エッジの重みは一定ではなく、エッジを使用する時間に応じて変化します。

$G=(V,E)$ $w\colon E\times \mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$$v$$u$$t=10$$5$$v$$t=8$$w(vu,8)=7$$w(vu,10)=5$

$P=v_1v_2\ldots v_{k-1} v_k$$k=1$$w(P)=0$$w(P)=w(P')+w(v_{k-1}v_k,w(P'))$$P'$$P$$v_k$

$w$

関数が「うまく動作する」場合、この問題を古典的な最短経路問題に減らすことができる可能性があります。しかし、重み関数がワイルドになったときに何が起こるかを尋ねることができます。そして、待機するという仮定を外した場合はどうなるでしょうか。

ご質問

私の質問は次のとおりです。

• この問題は以前に尋ねられたことがありますか？当たり前のようです。
• 何か研究はありますか？主に重み関数の特性に関して、尋ねられ、研究されるべき様々な副問題があるように私には思えます。
• この問題を（おそらくいくつかの仮定の下で）古典的な最短経路問題に減らすことはできますか？

$n^{\Theta(\log n)}$

ダイクストラのアルゴリズムは、実際にこの問題に使用できます。待機ポリシーが適用されている場合、つまり、最終的な到着時間が短縮される場合はノードで待機します。待機ポリシーがない場合、状況はさらに荒くなります。最短パスは単純ではない可能性があります。最短パスのサブパスは、サブパスの2つのエンドポイント間で最短ではない可能性があります。 。詳細については、OrdaとRomの論文をもう一度参照してください。

「最短非減少パス」の問題を知っていますか？このような状況をモデル化するために定義されました。それはあなたの定式化と比較して少し表現力が弱いですが、それのための高速の代弁者があります。

時間は不可欠であると仮定する場合（公共交通機関の場合に意味があります）、時間の経過に伴う最大フロー（または最速のフロー）についてFord-Fulkersonによって提案されたものと同様の時間拡張ネットワークを作成できます。代わりに、このグラフで最短経路を見つけてください。