言語の統語的モノイドとしてのモノイドの実現について

してみましょう $L \subseteq X^{\ast}$ 、いくつかの言語であること、そして私たちは、定義構文合同のよう

u \sim v :\Leftrightarrow \forall x, y \in X^{*} : x u y \in L \leftrightarrow x v y \in L

$u \sim v :\Leftrightarrow \forall x, y\in X^{\ast} : xuy \in L \leftrightarrow xvy \in L$ と商モノイド

X^{*} / \sim_{L}

$X^{\ast} / \sim_L$ あります呼ばれる構文モノイドの

L

$L$ 。

さて、言語の統語的モノイドとしてどのモノイドが生じるのでしょうか？対称グループ用の言語と、基礎となる有限セット上のすべてのマッピングのセット用の言語を見つけました。しかし、他の言語については、ある言語の構文モノイドとして書くことができなかった有限モノイドがありますか？

与えられたオートマトンについて、関数構成が左から右に読み取られるときに状態の文字によって誘導されるマッピングによって生成されるモノイド（いわゆる変換モノイド）を考慮すると、最小オートマトンの変換モノイドは正確に構文モノイド。この観察は、上記の例を構築するのに役立ちました。

私はまた、任意の有限モノイドの実現が非常に簡単ではないことをしてみましょう単にの要素取り、いくつかのオートマトンの変換モノイドとしてのすべての発電状態として、と考えるアルファベットの文字とし、遷移が与えられていますいくつかの状態のためのおよび文字、その後形質転換モノイドはと同形である自体（これはグループが対称群に埋め込む方法についてケーリーの定理に似ています）。 $M$ $M$ $M$ $qx$ $q$ $x$ $M$

— ステファン
ソース

この文脈で「言語」という用語は何を意味しますか？おそらくサブモノイドですか？編集。これは、

が常に等式関係であることを意味するためです。おそらく、それらは任意のサブセットですか？

\sim

$\sim$

— ゴブリン

@goblin言語は、

任意のサブセット（つまり、有限シーケンスのセット、またはフリーモノイド）です。単語をエンコードします。

X^{*}

$X^{\ast}$

— StefanH

ありがとう。私も同じように推測し始めていました。ここで何をしているのか、商グループ

（

はグループ

通常のサブグループ）の間に何か関係はありますか？いずれにせよ、これは非常にクールなようです。

G / N

$G/N$

N

$N$

G

$G$

— ゴブリン

@goblin

と

類似性

と

を探している場合、直接的な関係は、単に形成因子構造の抽象的な関係（したがって、正準射を誘発する）だけではありません。しかし、ここにグループが写真を入力できる他の方法があります。たとえば、構文モノイドはグループである可能性があります、または

はグループである可能性があります（私は推測する自動グループの概念に一般化されますが、ここでは専門家ではありません）。ここでグループがステージに入る方法に興味がある場合は、新しい投稿を開くことをお勧めします！

X^{*}

$X^{\ast}$

\sim

$\sim$

G

$G$

N

$N$

L

$L$

— -StefanH

たぶん、いくつかの方法でグループの理論家にはおなじみかもしれない別のアナロジーを@goblin：言語を考えると

我々は受け入れることオートマトン（！ないnecessariliy有限）を形成することができる

（Nerodeさん右のクラスと、たとえば）。

が状態を表す場合、アクション

があり、マッピング

ます。合同関係洗練として、このアクションの今カーネル

上記のようにから

L

$L$

L

$L$

Q

$Q$

Q \times X^{*} \to Q

$Q \times X^{\ast} \to Q$

X^{*} \to Q^{Q}

$X^{\ast} \to Q^Q$

\sim

$\sim$

q_{0} \cdot x u y = q_{0} \cdot x v y

$q_0\cdot xuy = q_0\cdot xvy$ その後、（単に

故に、それが適切に絞り込むことが、異なる最終状態にそれらを送信することが

）。

u \sim v

$u\sim v$

\sim

$\sim$

— -StefanH

回答:

この正確な質問に答える論文があるようです。また、より一般的な通常言語の場合でも、オープンアクセス版は見つかりません。誰かがペイウォールなしでリンクを見つけたら、それは素晴らしいでしょう。ResearchGateで全文をリクエストしました。 $\omega$

タイトル：どの有限モノイドがRational omega-Languagesの構文モノイドであるか。

作成者：ファンチュンフイ、イゴールリトフスキー、ドゥロンヴァン

要約：有限モノイドのω剛体集合の概念が導入されています。Mにω剛体セットが存在する場合に限り、有限モノイドMが何らかの合理的なω言語のアーノルドのシンタクティックモノイドであることを証明します。このプロパティは、有限モノイドに対して決定可能です。。ωシンタクティックモノイドのファミリーと∗シンタクティックモノイドのファミリー（つまり、有限語の有理言語のシンタクティックモノイド）の関係が確立されています。

さらに、構文モノイドに関するウィキペディアのページには次のように記載されています。

すべての有限モノイドは、非自明な言語の構文モノイドと準同型ですが[1]、すべての有限モノイドは構文モノイドと同型ではありません。[2]
すべての有限グループは、非自明な言語の構文モノイドと同型です。[1]

[1]マクノートン、ロバート。ペーパーレット、シーモア（1971）。カウンターフリーオートマトン。リサーチモノグラフ65。ウィリアムヘネマンによる付録付き。MIT Press。p。48. ISBN 0-262-13076-9。Zbl 0232.94024。

[2]ローソン（2004）p.233

— デニス
ソース

「準同型」とはどういう意味ですか？つまり、準同型写像はどの方向に進むのか、全単射である必要があるのか？

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

これは、任意の有限モノイドが構文モノイドのサブモノイドであることを意味します。これはkurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1437-2.pdf

— Denis

注：オートマトングループ会議のRIMSの出版物は、通常は参照されません。自分で確認できない場合は、内容に注意してください。

— ピーターロイポル

デニスの答えよりも基本的な方法で、ピッペンジャーの「計算可能性の理論」p.87から抜粋し、すぐに確認します。

定義：レッツモノイドこと、および。合同関係定義を超えるで $M$ $Y \subseteq M$ $\equiv_Y$ $M$ IFF、。 $x \equiv_Y y$ $\big[\forall w, z \in M$ $wxz \in Y \Leftrightarrow wyz \in Y\big]$

定義：レッツモノイドなります。サブセット $M$ ある硬質場合全てのため。（同等に、 $Y \subseteq M$ $x \equiv_Y y \Rightarrow x = y$ $x, y \in M$ $M \approx M/\equiv_Y$ 。）

定理：有限モノイド $M$ は、厳密なサブセットを持っている場合、通常の言語の構文モノイドです。

もちろん、は有限であるため、このプロパティは決定可能です。 $M$

— ミカエル・カディルハック
ソース

$P$ $M$ $P$ $M$ 平等関係です。したがって、モノイドが選言サブセットを含む場合にのみ、モノイドは言語の構文モノイドです。

この特性化を手にすれば、どの言語の構文モノイドでもない有限モノイドを簡単に見つけることができます。モノイドを取り $\{1, a, b, c\}$ $1$ $xy = y$ $x, y \in \{a,b,c\}$

— J.-E. ピン
ソース