有限オートマトンで明確に定義された除算演算はありますか？

バックグラウンド：

2つの決定性有限オートマトンAおよびBが与えられた場合、Cの状態をAの状態とBの状態のデカルト積として積Cを形成します。次に、遷移、初期状態、および最終状態を選択して、 Cは、AとBの言語の共通部分です。

質問：

（1）CをBで「分割」してAを見つけることはできますか？Aはさらに同型までユニークですか？ここおよび以下の言語ではなく、状態図を重視します。したがって、状態図を圧縮して状態の数を減らすことはできません。

（2）Aが一意の場合、それを見つけるための効率的なアルゴリズムはありますか？

（3）すべての決定性有限オートマトンには、「素数」への一意の因数分解がありますか。ここでの素数とは、因数分解できないオートマトン、つまり、2つの小さなオートマトンの積として記述されたオートマトンを意味します。

@MichaelWeharと連携する

fl.formal-languages automata-theory dfa

— しゅう
ソース

古典的な分解は、Krohn-Rhodes理論です-注目すべき点がたくさんあります。

Brzozowski誘導体を検討してください。en.wikipedia.org/wiki/Brzozowski_derivative

— ビジェイD

@halfTrucker Krohn-Rhodes理論は、リース製品を扱います。OPはデカルト積について質問しています。

— scaaahu

@halfTruckerに感謝、これは本当に面白いです！scaaahuが言うように、私はデカルト積を探していますが、あなたの参照はまだ素晴らしいです。

— Whosyourjay

回答:

オートマトンの合成性を研究するこのMFCS 2013論文をご覧ください。おそらく役立つでしょう。

— シャール
ソース

リンクの+1。この記事の議論から引用すると、一般的なケースはまだ開いていますが、記事は順列オートマトンのケースのみを検討しているようです。一般的なケースの最近の開発はありますか？デカルト積という意味ですか？（Krohn-Rhodes理論は花輪積を扱っています）ありがとう。

— scaaahu

最近の進展については知りません。この論文の直接的なフォローアップ作業はなかったと言えます。しかし、これは問題が本当に簡単ではないことを示すものとして役立ちます。

— シャール

製品オートマトンの1つの「要因」を回復するいくつかの明白な方法を示しましょう。場合及び意味製品オートマトン、我々は定義する場合すなわち忘れて $\mathcal A_i = (Q_i, \delta_i, q_{0i}, F_i), i = 1,2$ $\mathcal A = \mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

π_{1} ((q, q^{'})) := q

$\pi_1( (q, q') ) := q$

A_{2}

$\mathcal A_2$ 、又は第二成分に投影、我々は

、我々が知りたい場合にも

いくつかの選択

製品オートマトンおよび計算

Q_{1} = π (Q_{1} \times Q_{2})

$Q_1 = \pi(Q_1\times Q_2)$

δ_{1} (q, x)

$\delta_1(q,x)$

q^{'} \in Q_{2}

$q' \in Q_2$

、したがって、

遷移も回復できます。

π ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x)

$\pi((\delta_1(q,x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x)$

A_{1}

$\mathcal A_1$

したがって、オートマトンがデカルト（または外部）製品オートマトンであることがわかっている場合、要因を簡単に回復できます。

しかし、これはあなたが他の質問に関して考えていることではないと思います。ここで2つの質問が発生します（オートマトン同型による以下では、状態グラフとして同型を意味します。つまり、初期状態または最終状態に関係なく、ここでは言語はあまり重要ではないと述べました）。

A_{1} \times \dots \times A_{k} ≅ B_{1} \times \dots \times B_{l}

$\mathcal A_1 \times \ldots \times \mathcal A_k \cong \mathcal B_1 \times \ldots \times \mathcal B_l$

A_{i}, B_{j}

$\mathcal A_i, \mathcal B_j$

k = l

$k = l$

A_{i} ≅ B_{π (i)}

$\mathcal A_i \cong \mathcal B_{\pi(i)}$

。私はそれが真実であると推測していますが、まだ証拠がありません。

π : {1, \dots k} \to {1, \dots k}

$\pi : \{1,\ldots k \}\to \{1,\ldots k \}$

2）任意の2つのオートマトン与えられた場合、ような3番目のオートマトンが存在しますか。 $\mathcal A, \mathcal B$ $\mathcal C$ $\mathcal A = \mathcal B \times \mathcal C$

そのために必要な条件を導き出すのは簡単ですが、オートマトンが別の要因となるための簡単な十分な基準はありません。

π_{1} ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x) = δ_{1} (π_{1} (q, q^{'}), x)

$\pi_1( (\delta_1(q, x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x) = \delta_1(\pi_1(q,q'), x)$

q \in Q_{1}, q^{'} \in Q_{2}

$q \in Q_1, q' \in Q_2$

π

$\pi$

A_{1} \times A_{2}

$\mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

A_{2}

$\mathcal A_2$

$\mathcal A$ $\mathcal B$ $\mathcal B$ $\mathcal A$ 。

オートマトンの遷移モノイドを考慮すると、この概念は本当に興味深いものになります。この定義は、次の遷移モノイド $\mathcal B$ の $\mathcal A$ 。

より一般的には、モノイドは $M$ モノイドを分割します $N$ もし $M$ のサブモノイドからのいくつかの射影の画像です $N$ 。そして、この概念は広く使用されており、DEAとオートマトンの分解に関する質問に密接に関連する有限モノイドとの関係が与えられています。さらに詳しく知りたい場合は、次のリソースをご覧ください。

H. Straubing、 P。Weil有限オートマトンの概要と論理への接続、

多くの情報を含むコースのウェブサイト。

注：「quotienting」という別の概念もあります。wikipedia：quotient automatonを参照してください。ただし、これは状態を折りたたむためのルールであり、学習/言語推論アルゴリズムまたは状態最小化で使用されます。

— ステファン
ソース