点を含む最小の軸揃えボックス

入力：一連の点で、および整数。 $n$ $\mathbb{R}^3$ $k \le n$

出力：これらのポイントのうち少なくともを含む、最小のボリューム軸に沿った境界ボックス。 $k$ $n$

この問題に対してアルゴリズムが知られているかどうか疑問に思っています。私が考えることができる最高の時間は、時間で、大まかに次のとおりです。3次元のうちの2つの上限と下限のすべてに対するブルートフォース。これらの可能性のそれぞれについて、スライディングウィンドウアルゴリズムを使用して、時間の問題の対応する次元バージョンを解くことができます。 $O(n^5)$ $O(n^4)$ $1$ $O(n)$

cg.comp-geom

— GMB
ソース

我々は、サイズの表計算できない

ポイントの数を

と

？ポイント数とボリュームの計算は、const number of operationsで実行できます。サイズ

テーブルで動的プログラミングを使用でき、

アルゴリズムを取得できるはずです。

n^{3}

$n^3$

p

$p$

p . x < x, p . y < y, p . z < z

$p.x< x, p.y<y, p.z <z$

k n^{3}

$k n^3$

O (k n^{3})

$O(kn^3)$

— カベ

OK。この場合、

、

よりも良い結果を期待することはできません。なぜなら、

異なるボックスがあり、引数をランダムに（kのランダムな値で）計算すると、正確にk個のポイントを含む

個のボックスがあるからです。...あなたは何とか何とか探索空間をsmallifyにボリュームブツを使用することができますが、それは何らかの形で楽観思わない限り

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

n^{5}

$n^5$

n^{6}

$n^6$

n^{5}

$n^5$

— サリエルのHar-Peledは、

ところで、あなたのケースでは、あなたが入っている箱を得ることができます

の点を、それが含む最適なボックスよりも小さい

の点を

時間。以下のために

これは、本質的にpolylog時間で、..

(1 - ϵ) k

$(1-\epsilon)k$

k

$k$

O (((n / k) / ϵ^{2} \log n)^{O (1)})

$O( ((n/k)/\epsilon^2 \log n)^{O(1)})$

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

— サリエルのHar-Peled

以下のため点がある空のボックスは、この紙の導入参照http://www.cs.uwm.edu/faculty/ad/maximal.pdfを。おおよそ今回はこれらのボックスを計算できます（refについてはイントロをご覧ください）。 $n$ $O(n^3)$

あなたの問題のために、すべての点が確率選ばれる点のランダムなサンプルを取ります。このようなランダムサンプルのサイズは（予想して）です（矛盾を避けるために、それを仮定します）。あるからの点を有する空のボックス上記によりそれらの側面には、。そのような各ボックスに対して、直交範囲検索データ構造を使用して、正確に含まれるポイントの数を計算します。このプロセスを繰り返します $1/k$ $n/k$ $O((n/k)^3)$ $R$ $O(k^6 \log n)$ 回。高い確率で、試したボックスの1つが目的のボックスです。

全体として、この実行時間はです。 $O((n/k)^3 * k^6 * polylog n) = O(n^3 k^3 \log^{O(1)} n )$

これが機能する理由を確認するには、最適なボックスを検討してください。境界にPの6点があります。ランダムサンプルがこれらの6つのポイントを選択し、ボックス内のポイントが少なくともつではない確率 $\frac{1}{k^6} ( 1-1/k)^{k-6} \approx 1/k^6 = p$ $O( (1/p) \log n)$

$\Theta(n^3)$

$O(n^3 \log^2 n)$

— サリエル・ハー・ペレド
ソース

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

O (n^{3} k^{3})

$O(n^3 k^3)$

O (n^{6})

$O(n^6)$

k

$k$