正規言語のポンピング補題の新しい証明

してみましょう超えるすべての言語の家族のこと満たすポンプ特性正規言語のを。つまり、各には、 st個のすべての単語、はの形式で記述できます 。 .、3.すべての。 Σ L ∈ L N ∈ Nのw ∈ L | w | > N w = x y z | y | > 0 | x y | ≤ Nは、xは、Y I、Z ∈ LをI ≥ $\mathcal{L}$$\Sigma$$L\in\mathcal{L}$$N\in\mathbb{N}$$w\in L$$|w|> N$$w=xyz$$|y|>0$$|xy|\le N$$xy^i z\in L$$i\ge 0$

がシングルトン言語、含み、ユニオン、連結、およびKleeneスターの下で閉じられていることを証明するのは簡単な演習[1] です。同様に、通常の言語のファミリーは、シングルトンを含む最小の言語であり、結合、連結、およびクリーネの星のもとで閉じられていることがよく知られています。結論：通常の言語はポンプ特性を満たします。 L = { σ } σ ∈ $\mathcal{L}$$L=\{\sigma\}$$\sigma\in\Sigma$

質問：文献でこの証明を見た人はいますか？[1] D. Berendにより提案。

Andries PJ van der Walt（1976、Lemma 2.3 and Example 2.9）は、文字がマークされ、、、 3つすべてにマーク文字が含まれている必要があるポンピング補題のバリアントについて、本質的に同じ議論がなされています。ポンピング補題のこのバリアントを満たす言語の抽象的なファミリーのプロパティについては、Autebert、Boasson、およびCousineau（1978）も参照してください。x y $N$$x$$y$$z$