内側の長方形を傷つけずに長方形を分割する

$C$は軸に平行な長方形です。

$C_1,\dots,C_n$はようにような、ペアごとに内部で互いに素な軸に平行な長方形です。$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

矩形保存パーティションのパーティションであるように、、ペアワイズ-内部ディスジョイント軸平行長方形であり、そしてすべてのため：つまり、既存の各長方形は、次のように一意の新しい長方形に含まれます。C = E 1 ∪ ⋯ ∪ E N N ≥ N E I I = 1 、... 、N C I ⊆ E $C$$C = E_1\cup\dots\cup E_N$$N\geq n$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i \subseteq E_i$

小さな持つ長方形保存パーティションを見つけるためのアルゴリズムは何ですか？$N$

特に、部分を持つ長方形保存パーティションを見つけるためのアルゴリズムはありますか？$N=O(n)$

新しい回答：次の単純なアルゴリズムは漸近的に最適です。

各長方形任意に、可能な限り最大限にて、長方形がペアごとにばらばらになるようにします。$C_i$

穴の数は最大でです。穴の数が少なくともである構成があるため、これは漸近的に最適です。$k-2$$k-O(\sqrt k)$

証明はこの論文にあります。

古い回答：

次のアルゴリズムは、最適ではありませんが、部分を持つ長方形を保持するパーティションを見つけるには明らかに十分です。$N=O(n)$

このアルゴリズムは、長方形初期化される直線ポリゴンで機能します。$P$$C$

フェーズ1：西側境界に隣接する長方形を選択します（つまり、の西側と西側境界の間に他の長方形はありません）。を内に配置し、西の境界に接触するまで引き伸ばします。してみましょう（のために）の延伸バージョンで。してみましょう。すべてのまでフェーズ1を回繰り返します$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$元の長方形が配置され、引き伸ばされます。以下の画像では、長方形を配置する可能な順序はです。$C_1,C_2,C_4,C_3$

現在、は次のように直線のポリゴン（切断されている可能性があります）です。$P$

私は多くのことを主張し、凹面頂点における最大である。これは、引き伸ばされた長方形がから削除されるたびに、3つの可能性があるためです。$P$$2n$$P$

• 2つの新しい凹状の頂点が追加されます（配置するときなど）。$C_1,C_4$
• 3つの新しい凹状の頂点が追加され、1つが削除されます（と）。$C_3$
• 4つの新しい凹状の頂点が追加され、2つが削除されます（場合と同様）。$C_2$

フェーズ2：既存のアルゴリズムを使用して、を軸に平行な長方形に分割します（Keil 2000の10〜13ページおよびEppstein 2009の3〜5 ページを参照してください）。$P$

$2n+1$$N\leq 3n+1$

$N=13$$N=5$

A.このアルゴリズムは正しいですか？

$N$