最適化は簡単だが評価が難しい

特定の候補解の品質を評価するよりも最適解を生成する方がはるかに簡単な最適化問題の既知の自然な例はありますか？

具体性のために、我々は、フォームの多項式時間解ける最適化問題を考慮することができる： "X与え、最小 "、ここでF ：{ 0 、1 } * × { 0 、1 } * → Nたとえば、＃P-hardです。そのような問題は明らかに存在します（たとえば、fが計算できない場合でも、すべてのx に対してf （x 、0 ）= 0になる可能性があります）が、この現象を示す「自然な」問題を探しています。$f(x, y)$$f:\{0,1\}^*\times\{0,1\}^* \to \mathbb{N}$$f(x, 0) = 0$$x$$f$

論文[1]では、目的関数値の計算がNP困難であるにもかかわらず、最適な要素を見つけるのに多項式時間がかかるという特性に問題があります（これは、与えられた候補解の品質を評価することもNP困難であることを意味します） ）。

[1] TCECheng、Y.Shafransky、CTNg。最適化問題のNP困難性を証明するための代替アプローチ。European Journal of Operational Research 248（2016）52–58。

ヤコフ・シャフランスキー

これは多項式時間で解を生成できる例ですが、与えられた解の評価はNP困難です。

入力：正の整数（単項符号化で）、とK ≤ N。$n,k$$k\leq n$

タスク：最大クリークサイズが最大でkであるという制約の下で、頂点グラフのエッジの数を最大化します。$n$$k$

解決策：極値グラフ理論から、最適なグラフは多項式時間で簡単に構築できるTuranグラフ（ここを参照）になることがわかっています。一方、特定の候補解（特定のグラフ）の品質をチェックするには、その最大クリークサイズが最大でkであることを確認する必要があります。これはNPハードです。$T(n,k)$$k$

注：解が最適であるかどうかを確認するだけの場合は、簡単です。Turanグラフは一意の最適であることがわかっているため、単純な構造を持つTuranグラフと候補グラフを比較するだけで十分です。 。一方で、質問で要求されたように、候補解の品質を評価したい場合、つまり、実行可能かどうか、最適からどれだけ離れているかについては、最大クリークを満たすかどうかを確認する必要があります。制約。