述語メタ理論における命令システムの論理関係

System FのようなImpredicative言語の論理関係は、アンビエントロジックのimpredicativityに大きく依存しているようです。特に、forall-typeの解釈は、すべての型付き関係に関して定義されます。命令型システム（CiC / Coqなど）では問題ありませんが、予測型システム（Agdaなど）では不可能なようです。

これをどのように行うことができますか？たとえば、AgdaのSystem Fの正規化をどのように証明しますか？独自の不可解な宇宙を構築する必要がありますか？

一般的に、我々は通常呼んで論理的な関係の引数が本当にimpredicativityにリンクされていない：主なアイデアは、いくつかの抽象代数で用語を解釈するだけであり、および（としての種類を表すためのn進）関係R ⊆ A のn。$\cal A$$n$$R \subseteq \cal A^n$

これは、依存型指定された理論を含む型理論のすべての種類のために完全に正常に動作し、例えばShürmannとSarnatを参照してください。構造的、論理的関係の叙述ロジックのために特定のプロパティ（平等の決定可能性）を証明するために使用されている（Twelfのこと）叙述微積分を（単純に型指定された -calculus）論理関係を使用します。$\lambda$

ただし、疑いがあるかもしれませんが、AgdaのシステムFの正規化を証明することはできません（Agdaが予想よりも密かに強くない場合、つまり、多数の宇宙を持つMartin-Löf型理論の強さについて）。これは、システムFの正規化が2次算術（）の一貫性を意味するためです。これは、任意の数の（予測）宇宙を持つML型理論よりも強力です。$\mathrm{PA}_2$

ただし、Agdaで証明がうまくいかない場所を正確に突き止めることは有益です。それは実際、命令的数量化の論理的関係の解釈を定義しようとするときに起こります。ただし、非従属接続詞の解釈（「依存」定量化を含む）は、Agdaのような理論ではコーシャです。