Sylvain Peyronnetがすでに述べたように、論理はコンピューター理論の重要な部分です。しかし、純粋な数学者向けに作られた教科書から論理を学ぶだけでは十分ではありません。言い換えれば、ロジックをより「コンピューターサイエンス」の観点から学ぶことも重要です。
有限モデル理論
有限構造を扱う手法を学びたい。モデル理論からの多くの伝統的なツール、例えばコンパクトさやレーベンハイム-スコレムの定理が有限モデルに適用できないことはよく知られています。これは有限モデル理論の研究につながります。この分野では、次の優れた本をお勧めします。
有限モデル理論のサブエリアは記述的複雑度であり、言語を定義するために必要なロジックのタイプによって複雑度クラスを特徴付けたいと考えています。記述の複雑さの決定的なリファレンスは次のとおりです。
証明の複雑さ
コンピュータサイエンスのロジックのもう1つの重要な領域は、複雑度クラス、弱い論理システム、命題証明システム間の3者間関係の研究であるProof Complexityです。次の2つの関連する側面が考慮されます。(i)命題式の証明の複雑さ、および(ii)有界算術と呼ばれる算術の弱い理論の研究。
側面(i)は、「すべてのトートロジーがトートロジーのサイズのサイズ多項式の証明を持つ命題証明システムがありますか?」と関係しています。
側面(ii)は、計算の複雑さからの概念に基づいて、制限された推論を使用する論理システムを研究します。換言すれば、我々は、各複雑性クラスで割り当てる論理理論、証明可能合計の関数正確複雑クラスの関数である。最近の開発の1つは、Stephen CookとPhuong Nguyenによって提案された「境界逆数学」と呼ばれる新しい研究プログラムです。 。V C V C CCVCVCC
態様(i)および(ii)密接の概念によって関連付けられる命題翻訳において提案クック1975紙方程式理論を導入し、 polytime機能用とで定理方法を示した翻訳することができます拡張Frege証明システムで多項式長証明を持つトートロジーの族。P VPVPV
証明の複雑さに関する優れた調査については、次の2冊の本をお勧めします。
CookとNguyenの本は本質的に自己完結型であり、必要なすべてのロジックの背景は第2章と第3章にあります。著者は。この方法では、1つの追加公理を基本理論に追加するだけでよく、公理は単純に複雑度クラスの完全な問題の解の存在を示します。すごい!V 0PV0
Krajíčekの本は、読者が数学的論理とモデル理論にすでに精通している(または必要な背景を学ぶのに十分な)ことを前提としているため、もう少し挑戦的です。しかし、あなたはこの本を読んで理解することから多くを学びます。