数値フィールドふるいの最悪の複雑さは何ですか？

与えられた複合一般数体ふるいは、整数因数分解のための最もよく知られた因数分解アルゴリズムです。これはランダム化されたアルゴリズムであり、予想される複雑さを取得しからを因数ます。 $N\in\Bbb N$ $N$ $O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$ $N$

このランダム化アルゴリズムの最悪の場合の複雑さに関する情報を探しました。しかし、情報を見つけることができません。

（1） NumberフィールドSieveの最悪の複雑さは何ですか？

（2）また、ここでランダム性を削除して、決定論的な部分指数アルゴリズムを提供できますか？

回答:

数値フィールドふるいは厳密に分析されたことはありません。あなたが引用する複雑さは、単に発見的です。厳密に分析された唯一の部分指数アルゴリズムは、Dixonの因数分解アルゴリズムです。これは、2次ふるいに非常に似ています。ウィキペディアによると、ディクソンのアルゴリズムは、時間で実行。ディクソンのアルゴリズムはランダム化されています。 $e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

すべての（発見的）既知の部分指数アルゴリズムには、ランダム化が必要です。Dixonのアルゴリズムは、が滑らかで（小さな素数の積に因数分解できる）、「ランダム」である整数を見つける必要があります。楕円曲線法では、係数を法とする次数が滑らかなを法とする楕円曲線を見つける必要があります。どちらの場合も、アルゴリズムをランダム化解除するのは難しいようです。 $x$ $x^2 \pmod{n}$ $n$ $n$

これらのすべてのアルゴリズムの名目上の最悪の場合の複雑さは無限大です。2次ふるいおよび数体ふるいの場合、常に同じ生成しますが、楕円曲線法では、常に同じ楕円曲線を生成します。。これには多くの方法があります。たとえば、指数時間アルゴリズムを並行して実行するなどです。 $x$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

ECMにも触れたので、を計算するsubexpランダム化アルゴリズムを知っています

n! r

$n!r$ in

ECMを使用した時間

は不明でランダム化されています。このアルゴリズムの試行で

を取得するのに十分な回数の推定値はありますか

および

where

？

O (e x p (\sqrt{\log n}))

$O(exp(\sqrt{\log n}))$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

私は何は考えていない

は、一般的に言えば、ECMでパラメーターを選択するとき、曲線が十分に滑らかである確率

と、各曲線をテストするのに必要な実行時間

とのバランスをとります。通常、バランスポイントがあるとき、

。臨床試験の予想数はする必要がありますので、

n! r

$n!r$

p

$p$

T

$T$

1 / p \approx T

$1/p \approx T$

。

O (\exp \sqrt{\log n})

$O(\exp\sqrt{\log n})$

— ユヴァルフィルマス

階乗です。階乗の直線的な複雑さを取得することは未解決の問題です。

計算方法を知っています

ここで、

はsubexp時間では不明です。2つの異なる

わかっている場合

および

、

場合、サブエクスプレッション時間。

n!

$n!$

n

$n$

n! r

$n!r$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(n! r, n! s) = n!

$(n!r,n!s)=n!$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

しばらく前に計算したことを覚えています。キャッチがあり、詳細を覚えていないので、改善できるとは思わない。

最後の段落は奇妙に思え、さらに明確にすることができます。あなたは、RNGが全体的な配布スペースをサンプリングしないという意味でRNGが「壊れている」シナリオについて話しているのですか？しかし、並列性はそこでは役に立ちませんか？同じ「壊れた」RNGが並行して発生するためです。それとも、異なるRNGを並行して実行するという考えですか？実際に因数分解アルゴリズムの並列複雑さは、いくつかのより良い他のものより並列化できるなど、大きな-Oが正確になど、適用できないことがあります実際には全体の他の複雑なトピックである

— vzn

過去数か月間、番号フィールドのふるいのバージョンが厳密に分析されました：http : //www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

基本的にワーストケース実行時間は、無条件かつ GRH下。これは「古典的な」数値フィールドのふるい用ではなく、複雑さの分析を容易にするためにより多くのステップをランダム化するわずかに修正されたバージョンです。 $L_n(1/3, 2.77)$ $L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

対応する論文はまだ審査中だと思います。

更新：論文は現在公開中です。Jonathan D. LeeおよびRamarathnam Venkatesan、「ランダム化された数値フィールドシーブの厳密な分析」、Journal of Number Theory 187（2018）、pp。92-159、doi：10.1016 / j.jnt.2017.10.019

— ジャオ
ソース

リンクが機能しなくなった場合でも答えが役に立つように、タイトル、著者、および公開された場所で詳細を参照できる完全なリファレンスを提供できますか？

— DW

結果は最近発表されたばかりであるため、回答に示されているように現在レビュー中であり、まだ公開されていません。出版情報が利用可能になり次第、回答を更新します。

— djao

FWIW arxiv.orgにはないようです。ただし、著者はRamarathnam Venkatesanであり、今後の検索が必要な場合に役立ちます。

— ピーターテイラー

実際には2人の著者による作品（JD LeeとR. Venkatesan）：cmi.ac.in/activities/…– 16

— Sary