単射カープ削減の下での完全性

カープ削減は、2つの計算問題間の多項式時間で計算可能な多対一の削減です。多くのカープ削減は、実際には1対1の機能です。これは、すべてのカープ削減が単射（1対1関数）であるかどうかという問題を提起します。

多1カープ削減でのみ完了し、単射カープ削減では完了しないことがわかっている自然な完全問題はありますか？単射カープ削減を使用してN P完全性を定義する場合、何を獲得（および損失）しますか？$NP$$NP$

明らかな利点の1つは、単射カープ削減ではスパースセットを完全にできないことです。

ここでは、Karpの縮小も長さの増加に加えて単射にすることができる場合に限定して、特別な場合の答えを示します。（長さの増加は、意味します。ここで、fは減少を表す関数です。）$|f(x)|>|x|$$f$

主張：すべてのカープ削減が単射で 長さを増やすものに変換できる場合、P ≠ N Pが成り立ちます。$NP$$P\neq NP$

証明。 すべてのカープ減少は、単射で長さが増加するものに変換できると仮定しましょう。次に、2つの可能性があります。$NP$

1. これらのすべての削減は、多項式時間で計算できるだけでなく、関数を単射にした後に存在する各関数の逆関数も多項式時間で計算できます。ポリタイムで計算可能、ポリタイムで可逆、長さが増加する縮約により2つの言語が互いに縮約可能である場合、それらはポリタイム同型であることが知られています（Ding-Zhu Du著「Theory of Computational Complexity」の定理7.4を参照）およびKer-I Ko）。これは、すべての完全言語がp同型であること、つまり、P ≠ N Pを意味することが知られている同型予想が成立することを意味します。$NP$$p$$P\neq NP$

2. これらの関数には少なくとも1つがあり、逆関数は多項式時間で計算できません。この関数は、最悪の場合の一方向関数の例を提供します。ただし、最悪の場合の一方向関数の存在は、意味することも知られています。（HemaspaandraとOgiharaの著書「The Complexity Theory Companion」の定理2.5を参照してください。）$P\neq NP$

したがって、すべてのカープ削減は単射で長さを増やすことができるという仮定は、意味するため、証明するのは非常に困難です。一方、反証する方が劇的な結果をもたらすとは思われないため、反証する方が簡単かもしれません。また、長さが長くなるという仮定を破棄するとどうなるかは不明です。$P\neq NP$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

実際、同型予想に対する潜在的な「不自然な」反例であるジョセフとヤングの定理2.2 のk創造的な集合でさえ、構築による1対1の削減で完全です。

[ ここでの私のコメントから繰り返します：]私たちが構築する多くの1対1の削減は実際には1対1の削減であるため、それらが形式的に強力であり、とにかくほとんどの場合、それらを調べてみませんか？私たちが通常持っているにもかかわらず、単射性の証明を気にする必要がない方が簡単だからだと思います。その意味で、多対一の削減は、「Goldilocksの削減」のようなものである可能性があります。つまり、正しい力、証明の正しい単純さです。

実際、単射簡約は暗号化に役立ちます。言語L上のNPリレーションRのZK証明システムがあるとします。言語L '上の別のNPリレーションR'のZK証明を作成する場合、次のプロパティを持つ2つの関数fとgを見つける必要があります：1. f（x）がLに属する場合、xはL 'に属します。2.（x、w）がR'に属する場合、（f（x）、g（x、w））はRに属します。 、fおよびgは効率的に計算可能でなければなりません。

上記の特性は、Rの証明システムが完全で健全な場合、R 'の証明システム（上記の関数を使用して他の関係のインスタンスを減らすことで明確に定義されている）も完全で健全であることを意味します。

新しいシステムがZKまたは目撃者識別不能（WI）であることの証明についてはどうですか？fが可逆であれば、そのようにして得られた証明システムがZKであることを証明できます。そうでなければ、Rの証明システムが補助入力ZK（単なるZKではなく）であると仮定しなければならないことを証明するために。WIの場合、fが可逆であれば、R 'の証明システムがWIであることを証明できます。fが可逆であるという事実がなければ、あなたがそれを証明できるかどうかわかりません