直線距離の通信の複雑さの問題

1入力が0入力から直線的に離れている自然なギャップ問題の既知の（自明ではない）ランダム化された通信の複雑さの下限はありますか？すなわち、部分関数であるこのようなすべての間のハミング距離ことを（X 、Y ）∈ F - 1（1 ）及び（X '、Y '）∈ f − 1$f:\{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$$(x,y) \in f^{-1}(1)$は線形です-そして、その fは通信するためにランダム化されたプロトコルを必要とします（例えば） Ω （$(x',y') \in f^{-1}(0)$$f$ビット？$\Omega(\sqrt{n})$

（例えば、ギャップハミング距離の問題があり距離。ただし、Ω（n）距離を探しています。ここで、GHD（X、Y）=1であればHD（X、Y）≥N/2+$2\sqrt{n}$$\Omega(n)$$GHD(x,y) = 1$とGHD（X、Y）=1であればHD（X、Y）≤N/2-$HD(x,y) \ge n/2 + \sqrt{n}$$GHD(x,y) = 1$。）$HD(x,y) \le n/2 - \sqrt{n}$

編集：Igorが指摘したように、通信の複雑さの述語は、入力を適切なコードでエンコードする必要があるため、線形距離の問題になる可能性があります。しかし、興味深いのは、直線距離が自然に発生する（ギャップハミング距離問題の距離として）問題が存在するかどうかです。

LET 直線距離と誤り訂正符号です。ましょうG ：{ 0 、1 } N × { 0 、1 } nが → { 0 、1 }無作為通信の複雑さが大きいの機能（たとえば、ことΩ （$C:\{0,1\}^{n} \to \{0,1\}^{2n}$$g: \{0,1\}^{n} \times \{0,1\}^{n} \to \{0,1\}$またはΩ（n））。$\Omega(\sqrt{n})$$\Omega(n))$

定義の符号語上の一部の機能であるとC出力F （X 、Y ）= G （C - 1（x ）、C − 1（y ））、そしてそれは∗を出力し$f: \{0,1\}^{2n} \times \{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$$C$$f(x,y) = g(C^{-1}(x),C^{-1}(y))$$*$少なくとも1つがCにない場合。$x,y$$C$

明らかに、通信の複雑の通信の複雑さに等しく、G、及びFに各2つの異なる入力のために満たす性質F出力0または1であり、それらの間の距離は線形です。$f$$g$$f$$f$

上記のコメントで述べたように、[BJK04、KR06]で導入および調査されたブール隠しマッチング問題は、（ほぼ）要件を満たしているようです。入力サイズは、大きくされた（入力フォームであるように（X 、M 、W ）∈ { 0 、1 } 2 N × { 0 、1 } N × 2 N × { 0 、1 } 2 N、ここで、Mは非常にスパースな行列であり、$n\log n$$(x,M,w)\in\{0,1\}^{2n}\times\{0,1\}^{n\times 2n}\times \{0,1\}^{2n}$$M$ビット）; そしてはい -と何の約束の問題の-instancesは距離がありません Θ （nは）、$n\log n$$\textsf{yes}$$\textsf{no}$$\Theta(n)$

一方向ランダム通信の複雑さはΩ （$\textsf{BHM}_n$、[KR06]に示すとおり。$\Omega(\sqrt{n})$

• [BJK04] Ziv Bar-Yossef、TS Jayram、Iordanis Kerenidis。量子および古典的な一方向通信の複雑さの指数的分離、ACM STOC 2004のプロシーディングス
• [KR06] Iordanis Kerenidis、Ran Raz。ブール隠しマッチング問題の一方向通信の複雑さ。計算の複雑さに関する電子コロキウム（ECCC）13（087）（2006）