言語自体を「埋め込む」

メイン/一般的な質問

してみましょう $L$ 言語とすること。言語をおよびで定義します。考えてください。したがって、私たちはをそれ自体に繰り返し「埋め込み」、を取得します。 $L_i$ $L_0 = L$

L_{私} = {バツ w y ： バツ y \in L_{私 - 1} 、 w \in L}

$L_i = \{xwy : xy \in L_{i-1}, w \in L\}$

i \geq 1

$i \geq 1$

\hat{L} = ⋃ L_{i}

$\hat{L} = \bigcup L_i$

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

た研究されて？名前はありますか？ $\hat{L}$

例/動機

ここのコメントで要求されているように、が何であるかをより良く説明するためのいくつかの例があります。次に、この概念を誰も見たことがないようですので、私はそれを見る動機について説明します。 $\hat{L}$

Klaus Draegerが私を叩いて、例を追加しました。良い例であるため、可視性を高めるために、コメントからこれらの例を示します。

場合ある単項言語、次に（ひいてはは規則的です）。 $L$ $\hat{L} = L^+$

場合、その後あるディック言語。 $L = {ab}$ $\hat{L}$

を考える別の方法を次に示します。言語がアルファベットである場合、次のゲームをプレイします。任意のを使用して、サブワードを繰り返し削除することにより、を空の文字列に減らします。（ここでは、空の文字列自体をどのように扱うかを少し注意して、これが上記の定義と同等であることを確認する必要がありますが、これは道徳的に正しいです。） $\hat{L}$ $L$ $A$ $w \in A^*$ $w$ $\epsilon$ $L$

もともと、単語のべき乗を削除することを検討して、定義しました。取るバイナリアルファベット上のキューブの言語であるため。次にを使用すると、次の「削除」を検討できます。 $\hat{L}$ $L = \{w^3 : w \in A^*\}$ $A = \{a,b\}$ $aaabaabaabbabab \in \hat{L}$ $L$

a (a a b a a b a a b) b a b a b \to a b a b a b \to ϵ .

$a(aabaabaab)babab \to ababab \to \epsilon.$

すべての削除が機能するわけではないことに注意してください

(a a a) b a a b a a b b a b a b \to b a a b a a b b a b a b

$(aaa)baabaabbabab \to baabaabbabab$

そして、私たちはキューブフリーの言葉で立ち往生しています。そのため、一般的にと一致しない「強く削除可能」という別の表記法があります。 $L$ $\hat{L}$

一最後の例、場合バイナリアルファベット上の正方形の言語で次に、偶数の両方を含む文字列であるのと偶数の ' s。明らかに、この条件は必要です。それを確認する1つの方法は、正方形の削除を検討し、長さが4以上のすべてのバイナリワードに正方形があることを思い出すことです。ここで規則的です。 $L$ $A = \{a,b\}$ $\hat{L}$ $a$ $b$ $\hat{L}$

より大きなアルファベットの場合、任意の長い正方形のない単語があるため、このタイプの引数は失敗します。サイズのアルファベットで私は示すことができ Myhill-Nerodeさんと事実を使用して定期的にではないが、任意の長さの正方形のない言葉がありますが、私はもっと言うことができませんでした。この状況をより抽象的な方法で見て、状況を明らかにすることを望んでいました（そして、このより抽象的な定義自体が興味深いようです）。 $k \geq 3$ $\hat{L}$

reference-request fl.formal-languages

— ジョン・マチャチェク
ソース

いくつかの実例を紹介してもらえますか？

— phs

いくつかの例：場合

シングルトン言語である

、その後、

括弧のバランスストリングのディック言語です。言語の場合

我々が得るシングルトンのアルファベットの上に

（それは常にこの場合、規則的であるので）。

L

$L$

{()}

$\{()\}$

\hat{L}

$\hat{L}$

L = {a^{i} | i \in I}

$L=\{a^i|i\in I\}$

\hat{L} = L^{+}

$\hat{L}=L^+$

— クラウスドレーガー

@phs質問を（かなり）詳細に変更しました。

— ジョンマチャチェク

もう一つの比較的簡単な結果があればということである

文脈自由である、そのようにある

。

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

— クラウスドレーゲル

例と動機に感謝します。問題を覚えて、それを渡すのがずっと簡単になりました。新しい開発がある場合は、元の質問を更新してください。

— phs

この質問は、いわゆる挿入システムに関連しています。

挿入システムは、そのルールの形式であるシステム書き換えの特別なタイプであるすべてのため、所与の言語における。私たちが書いてみましょう場合といくつかのため。私たちはで表すと関係の反射的推移閉包。言語の閉鎖の $1 \rightarrow r$ $r$ $R$ $u \rightarrow_R v$ $u = u'u''$ $v = u'ru''$ $r \in R$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $\rightarrow_R$ $L$ 下言語であるリコールこと井戸準順序集合で反射的であり、そしての要素の無限列のような推移関係 $A^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$

[L]_{{\overset{*}{\to}}_{R}} = {v \in A^{*} ∣ there exists u \in L such that u {\overset{*}{\to}}_{R} v}

$[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R} = \{ v \in A^* \mid \text{ there exists $u \in L$ such that $u \buildrel{*}\over\rightarrow_R v$} \}$

E

$E$

⩽

$\leqslant$

x_{0}, x_{1}, \dots

$x_0, x_1, \ldots$

E

$E$ 、二つの整数がある

ように

。次の定理は[1]で証明されています。

i < j

$i < j$

x_{i} ⩽ x_{j}

$x_i \leqslant x_j$

が言語が有限であるような単語の有限集合である場合、関係は準準位であり、は規則的です。 $H$ $A^* \setminus A^*HA^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $A^*$ $[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R}$

[1] W. Bucher、A。EhrenfeuchtおよびD. Haussler、派生関係によって生成された総規制者について、Theor。計算科学 40、2-3（1985）、131- 148。

— J.-E. ピン
ソース

J.-E.としてピンは挿入に関する私の質問を指摘しました。興味のある人のためにここに投稿する別のソースを見つけました。

L.カリ。形式言語での挿入と削除について。博士号論文、1991年、トゥルク大学

これが論文のパートIとパートIIです。

私が言えることから、これが挿入の研究の元の情報源です。

— ジョン・マチャチェク
ソース