ETH：k-SAT対SAT？

$_v$$[v] = \{0,1,\dots,v-1\}$$k$$k$$k$$_v$$s_k = \inf_M\{\delta \mid \exists c\forall v\;( M\text{ decides } k\text{-SAT$_v$ in }2^{v\delta-c})\text{ time}) \}$$s_\infty = \lim_{k \to \infty} s_k$。これを理解するには、変数の数の観点から入力のサイズに合理的な限界があると想定する必要があります。それ以外の場合は、句を繰り返して、とを必要なだけ大きくすることができます。したがって、句は繰り返されないと仮定します。$s_k$$s_\infty$

各 -CNF数式のサイズは最大でになるため、で線形である指数を考慮する場合、入力数式のサイズは重要ではないことに注意してください。次に、ます。$k$$O(v^k)$$v$$s_3 \le s_4 \le \dots \le s_\infty$

指数時間仮説（ETH）は、いくつかのでであるというステートメントです。ETHが成立する場合、シーケンスは無限に増加します。強力なETH（SETH）は、使用する参照に応じて、またはというステートメントです。$s_k > 0$$k\ge 3$$(s_k)$$s_\infty \ge 1$$s_\infty = 1$

対照的に、SAT各インスタンスには、最大異なる句が含まれます（各変数は、各句に正、負、または存在しない場合があります）。したがって、句が繰り返されない場合でも、入力の長さは可能性があるため、これは入力を読み取る時間の下限であり、全体の時間の下限でもあります。$_v$$3^v$$\Omega(2^{n\log 3})$

次に、、入力サイズを考慮するだけでであることは明らかです。入力式に別の句に包含される句を含める必要がない場合でも、です。簡単なアルゴリズムでは、の場合もそうです。$s_\omega = \inf_M\{\delta \mid \exists c\forall v\;( M\text{ decides } \text{SAT$_v$ in }2^{v\delta-c})\text{ time}) \}$$s_\omega \ge \log 3 \gt 1.58$$s_\omega \ge 1.5$$s_\omega \le 1+\log 3$

SETHを想定して、なぜと間にギャップがあるのですか？$s_\infty$$s_\omega$

ある意味では制限を取得するための別の方法であり、ギャップが存在することは不可解なようです。$s_\omega$

• Russell Impagliazzo and Ramamohan Paturi、On the Complexity of -SAT$k$、JCSS 62 367–375、2001. doi：10.1006 / jcss.2000.1727（preprint）
• Evgeny DantsinとAlexander Wolpert、SATの適度な指数時間、SAT 2010、LNCS 6175 313–325。土井：10.1007 / 978-3-642-14186-7_27（プレプリント）
• Chris Calabro、Russell Impagliazzo、Ramamohan Paturi、The Complexity of Satisfiability of Small Depth Circuits、IWPEC 2009、LNCS 5917 75–85。土井：10.1007 / 978-3-642-11269-0_6（プレプリント）
• マレクサイガン、ホルガーデル、ダニエルロクスタノフ、ダニエルマルクス、イェスパーネデルロフ、岡本良男、ラマモハンパトゥリ、サケットサウラブ、マグヌスヴァルストローム、CNF-SATと同じくらい難しい問題、arXiv：1112.2275v3、2014年3月27日。

定義の違いは、句の幅は変数の数にて拡大できることですが、場合は任意ですが一定です。$s_\omega$$s_\infty$

PH vs PSPACEと同様の問題です。数量詞の変更を任意の定数で行うと多項式の階層が得られますが、式を完全に数量化できるようにすると、PSPACE完全な問題が発生します。

これらの指数を定義するより良い方法は、の形式で実行時間について尋ねることです。ここで、は入力サイズの任意の多項式です。その後、サイズのようなアーティファクトが消えます。$c^n\cdot poly(|F|)$$poly(|F|)$$3^v$