後方エッジのあるDAGの単純なパス

次の問題の複雑さは何ですか（？NP-hard？）： $\in$

入力：有向非巡回グラフ、後方エッジの集合、及び二つの異なるノード及び。 $D=(V,E)$ $E'\subset V\times V$ $s$ $t$

質問：レッツに添加することにより形成されたグラフで表すからエッジ。少なくとも1つの後方エッジを使用するからへの単純なパスはありますか？ $G=(V,E\cup E')$ $D$ $E'$ $s$ $t$ $G$

注：0）シンプルパスは、頂点が繰り返されないパスです。後方エッジは、DAGによって暗示される部分的な順序と矛盾するエッジです。1）DAGでの単純なPTimeソリューションを認める分離パス問題への自明な削減により、単純なパスに正確に1つのバックワードエッジ（または定数）を使用するように要求した場合、問題は簡単です（PerlおよびShiloach、JACM'78）。 2）素な経路の問題は、一般的なグラフではNP完全です（Fortune et al。、TCS'80）。

graph-algorithms time-complexity disjoint-paths

— ジョセフスタック
ソース

e_{1}, . . ., e_{m}

$e_1,...,e_m$

E

$E$

s

$s$

t

$t$

G_{i} = (V, E^{'} \cup ⋃_{j = 1}^{i} {e_{j}})

$G_i = (V, E' \cup \bigcup_{j=1}^i \{ e_j \} )$

i = 1, 2, . . ., m

$i = 1,2,...,m$

E

$E$

G^{'} = (V, E^{'})

$G' = (V, E')$

s

$s$

t

$t$

E

$E$

E^{'}

$E'$

E^{'}

$E'$

問題について非常に迷惑なのは、次の関連する問題がNP困難であることが簡単にわかることです。グラフと2つの頂点のペア（s、t）、（s '、t'）が与えられると、頂点が互いに素であるかどうかを判断しますsからtへのパス、およびs 'からt'へのパス、t = s 'の場合、および2つのDAGの和集合であるグラフ上でも。それでも、これはあなたが尋ねる質問には役に立たないようです。

— a3nm 2015年

ばらばらのパスの問題は、DAGでもW [1]ハードであり、DAGでNPハードであることを示すのは宿題です。Shiloachアルゴリズムは2つのばらばらのパスの問題に対するものであり、DAGのk個のばらばらのパスの問題に対しても同様に機能しますが、n ^ kの時間がかかります。しかし、少なくとも問題のXPアルゴリズムは認めています。

— 2015年