2番目に小さい -ネットワークでカット

フローネットワークの2番目に小さい -カットについて何か知られていますか？または、より一般的に、この問題について： $s$ $t$

入力：ネットワークおよび数値（すべてバイナリ）。出力：番目に小さい -カット。 $N$ $k$
$k$ $s$ $t$

最小番目 -カットいずれかである -カット、正確にあるように、 -その容量削減が $k$ $s$ $t$ $(S,T)$ $s$ $t$ $k-1$ $s$ $t$

ペアごとに異なり、
容量よりも本当に小さい。 $(S,T)$

私はそれがどのように計算され、これがケースに関して効率的に行われるかどうかを知りたいです。 $k=1$

最小カットのすべてのエッジにウェイトを追加してから、新しい最小カットを計算することにより、2番目に小さいカットを見つけることができます。これはおそらく、が単項でエンコードされている限り機能します（定数については確かです）。

ϵ

$\epsilon$

k

$k$

k

$k$

— ユヴァルフィルマス

どのように役立つかわかりません。2つのエッジおよびのみを持つ3つのノード、、構成されるパスネットワークを想像してください。さらに、容量をおよびます。明らかに、最小カットカットと2番目に小さいカットカットです。説明したように容量を増やすと、容量最小カットとしてが再び得られます。それから2番目に小さいカットをどのように推測するのですか？

s

$s$

v

$v$

t

$t$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

c (s, v) = 1

$c(s,v)=1$

c (v, t) = 2

$c(v,t)=2$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

(s, v)

$(s,v)$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— オリバーウィット

カットの上限に下限を追加することは線形不等式です。最小の上限よりも大きいイプシロンを1つ追加してLPを実行します。必要なものを取得するためにk回繰り返すことができます。これはおそらくネットワーク上の変更として再構築できますが、私はそれを解決していません。

— カベ

が単項エンコーディングの場合の動作を確認します。バイナリの場合はどうですか？この場合、ネットワークの変更は回の繰り返しで実行できません。

k

$k$

k

$k$

— オリバーウィット

kがバイナリの場合、簡単な解決策があるとは思わない。説明したように、キャップcの切れ目があるかどうかを確認できます。本質的に可能なcの数を数えているように思えますが、一致数の数え上げに関連して提供され、おそらく＃P-completeです。（これは私の直観であり、議論ではありません。）

— Kaveh

2番目に小さいカット、より一般的には最小カットは、時間多項式とネットワークサイズで見つけることができます。見る： $k$ $k$

HWハマーチャー。求めるアルゴリズムネットワークのベストカットを。オペラ。解像度 レット。1（5）：186-189、1982、DOI：10.1016 / 0167から6377（82）90037から2。 $(K\cdot n^4)$ $k$

HWハマーチャー、J.-C。ピカード、M。ケイラン。ネットワークで最適なカットを見つけるとき。オペラ。解像度 レット。2（6）：303-305、1984、DOI：10.1016 / 0167から6377（84）90083-X 。 $K$

HWハマーチャーとM.ケイラン。組み合わせ最適化問題の最良の解決策。アン。オペラ。解像度 4（1–4）：123–143、1985、doi：10.1007 / BF02022039。 $K$

— デビッド・エップスタイン
ソース

これらは、上位

間で等しい重みを許可しないのですか？質問は

番目に小さい重みについて尋ねているようです。

k

$k$

k

$k$

— アンドラスサラモン

私もそのように理解しています：等しい重みが許可されています。これは質問に答えていないようです。それにもかかわらず、私はこれらの論文を知りませんでした、そのおかげです。

— オリバーウィット

質問は、1つのこと（

番目の最小カット）を要求し、その後質問を他の何か（

番目の最小の明確なカットウェイト）に変える制限を追加するため、不適切な表現です。問題の個別の重みバージョンは、$ P完成である可能性が高いことに同意します。

k

$k$

k

$k$

— デビッドエップシュタイン