離散的な問題はNP困難であり、継続的な問題はそうではないというルールですか？

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私のコンピューターサイエンス教育では、ほとんどの離散的な問題が（少なくとも）NP完全であることに気づきますが、連続的な問題の最適化はほとんどの場合、通常は勾配手法によって簡単に達成できます。これに例外はありますか？

cc.complexity-theory co.combinatorics optimization

— アレクディミ
ソース

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確かに、それらの多くがあります。二部および一般マッチング、および最小カットは、3つの古典的な多項式時間で解ける離散問題です。多くの連続した非凸最適化問題はNP困難です。凸集合の直径を見つけるか、3次元テンソルの単射ノルムを計算します。

— サショニコロフ

6

解決が困難なNP困難な単純な連続最適化問題を次に示し

— Jukka Suomela

8

どのような問題を念頭に置いているのかわかりませんが、勾配法によって「解決される」多くの継続的な問題は、実際には「解決」されません。

— スレシュヴェンカト

1

これまでのすべての回答は反例のように思われますが、このルールが当てはまるように思われるいくつかのケースを見るといいでしょう。思い浮かぶのは、線形計画法と整数計画法、および凸最適化と劣モジュラ最大化です。

— -usul

13

私は全体の離散的なもの対連続的なものは赤いニシンだと思います。問題を効率的に解決するには、非常に特殊な構造が必要です。ここでの本当の違いは、簡単な連続問題の場合、特別な構造は凸状になる傾向があることです。一方、簡単な離散問題の場合、物事はより複雑に見えます：時々、構造は準モジュラリティまたはマトロイド交差ですが、そうではないことがよくあります。これはおそらく、離散数学がまだ十分に理解されていないという事実と関係があります。

— サショニコロフ

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I愛は、異なる所定の問題であること、例えば次の場合、決定 $a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{N}$

\int_{- π}^{π} \cos (a_{1} z) \cos (a_{2} z) \dots \cos (a_{n} z) d z \neq 0

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(a_1 z) \cos(a_2 z) \ldots \cos(a_n z) \, dz \ne 0$

これは、最初にしかし、セットのバランスパーティションが存在するときに限り、この積分がゼロでないことを示すことは容易である、この積分を評価するために、連続的な問題のように思わこの積分問題が実際になるように、 NP完全。 $\{a_1, \ldots, a_n\}$

もちろん、が十分に大きくなると、この積分を評価するためのほとんどの（すべてではないにしても）数値的なトリックは失敗する運命にあると確信するために、いくつかの数値ツールを試してみることをお勧めします。 $n$

— ジョー・ベベル
ソース

4

このトピックに取り組んでいるので、私が見つけることができるこの問題への最初の言及は、ムーアとメルテンスによる「計算の性質」にあります。彼らは参照を提供しませんので、私は彼らがそれを発明したか、それは民間伝承から来たと思います。誰かがこの問題の原因を知っていれば幸いです。

— ジョーベベル

おそらくほとんどが、すべての数値手法だけではなく十分な大きさのために破滅的にスケールします

？問題はNP完全であるため、

多項式でスケーリングされた積分を評価するための正確な数値手法は、P = NPを示すのに十分です。

n

$n$

n

$n$

— EP

1

そうです、

時間多項式でその積分を常に正しく評価するアルゴリズムは、P = NPを示すのに十分です。一方で、SATソルバーがよくできるように、

が大きい場合でも、この積分の特定のインスタンスで何らかの形でうまくいくとは知らない特定の数値手法の可能性を100％排除することはできません最悪の場合のパフォーマンスが悪い場合でも、数千の変数を含むいくつかの式の満足のいく割り当てを見つけます。そのため、そのような方法が存在することを疑っても、少し答えをヘッジしました。

n

$n$

n

$n$

— ジョーベベル

3

どうやらこの問題の元の原因は次のとおりです。DavidPlaisted、いくつかの多項式と整数の可分性の問題はNP困難です。SIAM Journal on Computing、7（4）：458–464、1978。参照はMoore and Mertensの後方にあり、本文そのものにはありません。

— ジョーベベル

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「コンビナトリアル入力が幾何学的構造として実現できるかどうかをテストする」という形式の多くの連続的な問題があり、NPの連続的な類似体である実数の実存理論について完全です。特に、これは、これらの問題が多項式的に解けるのではなく、NP困難であることを意味します。例には、特定のグラフが単位距離グラフであるかどうか、特定のグラフを直線セグメントエッジと最大で特定の数の交差を含む平面に描画できるかどうか、または特定の擬似線配列を引き伸ばして線を形成できるかどうかのテストが含まれます配置。

さらに困難な継続的な問題があります。たとえば、3Dで多面体の障害物間の最短経路を見つけることはPSPACE完全です（Canny＆Reif、FOCS'87）。

— デビッド・エップシュタイン
ソース

1

「多面体の障害物間の最短経路」は名前だけで連続的ではありませんか？構成空間は、障害物の特定のセットを「ハグ」するパスに対応する多数の個別のピースの結合と考えることができます。その場合、各特定の部分内（つまり、障害物の任意のセット内）のローカル最適化は簡単ですが、どのパスにグローバルに最適な距離があるかを決定することが問題の難しい部分です。

— スティーブンスタドニッキー

13

これはあなたの元の質問に正確に答えているわけではありませんが、一種の哲学的対比の（推測的な）例です。プレゼンテーションは離散的ですが、すべての難しさは問題の「継続的な」側面に由来する問題です。

問題は平方根の和問題です。2つの整数セットおよび、 $A=\{a_1, a_2, \ldots, a_m\}$ $B=\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ ？（他にも製剤であるが、これは私が好むものです。）それが特定のために知られていないもののなります $\sum_{i=1}^m \sqrt{a_i}\leq\sum_{j=1}^n\sqrt{b_j}$ 難しい、それはNP困難であるかもしれないと広く疑われており、実際にはNPの外側にあるかもしれない（コメントに記されているように、NP完全ではないと信じる優れた理由がある）; これまでに知られている唯一の封じ込めは、多項式階層の上のいくつかのレベルです。明らかに、この問題の表現はできる限り離散的です-整数のセットとそれらについてのyes / noの質問-しかし、指定された精度への平方根の計算は簡単な問題ですが、計算が必要な場合があるため、課題が発生します不等式を何らかの方法で解決するために、高い（潜在的に超多項式）精度に。これは驚くべき数の最適化コンテキストで発生する「離散的な」問題であり、独自の複雑さの一因となります。

— スティーブン・スタドニッキ
ソース

4

私はこの例をとても気に入っていますが、NP完全ではないと信じる強い理由があることを指摘する価値があります。（参照cstheory.stackexchange.com/a/4010/8985を）

— ジョー・ベーベル

@JoeBebel非常に良い点-それを反映するために言語を少し修正しました。ありがとうございました！

— スティーブンスタドニッキー

6

通常、離散的な問題はより困難になる傾向があります（LP対ILPなど）が、問題となるのは離散性そのものではなく、ドメインを検索する方法に制約がどのように影響するかです。たとえば、多項式の最適化は効率的に行えると思うかもしれませんが、四次の凸性（次数4の多項式）を決定するのはNP-hardです。

つまり、すでに最適化されている場合でも、最適化されていることを証明することはすでにNP困難です。

— メアーダッド
ソース

離散性も問題の一部だと思います。たとえば、LPのILPバリアントがあるとします。たとえば、LPバリアントの解決策を見つけることを目的とすることができますが、検索する必要がある2^n" 興味深い近傍 " がまだあります。

— ウィレムヴァンOnsem

@CommuSoft：実際にはそうではありません...離散性は問題ではありません。最短経路問題をチェックしてください。これは離散問題ですが、それでもP時間解が可能な積分線形計画法の特別な場合に還元されます（明らかにNP困難な整数線形計画法と混同しないでください）。

— Mehrdad

整数線形計画法はNP完全であるため、Pのすべての問題（ポリタイムで解決できる）は、ILP問題のポリタイムに変換できます。

— ウィレムヴァンOnsem

@CommuSoft：コメントを完全に読みましたか？ILPの話ではありません。

— Mehrdad

申し訳ありませんが、速読してください。しかし、それでも制約は完全な単モジュラーであるため、適切に構造化された制約の「恵み」によってのみ、そのような問題は簡単に解決できます。一般に、離散化は問題の問題のある側面です。

— ウィレムヴァンOnsem

5

用がいくつかの人気の問題、それは確かに真実である、私は両方の仮定があると思います-あなたは最適化問題として定義するものに応じて-真実ではありません。

最初にいくつかの定義：ほとんどの最適化問題はNPの一部ではありません。たとえば、ナップザック問題の場合、非決定性を利用して最も価値のあるバッグを作成することはできません。異なる非決定性ブランチには共有メモリがないためです。NPは、「多項式的に検証可能」（証明書を検証）としても定義され[1, p. 34]ます。この場合、証明書はたとえばバッグです。ビット文字列で、i番目のビットが設定されている場合、i番目のアイテムがバッグの一部であることを意味します。そのようなバッグが与えられたしきい値よりも価値がある場合、これを実際に多項式時間でチェックできます（これは決定バリアントです）、しかしたちが知る限り、単一のバッグ（バッグの多項式数）に基づいて、そのバッグが最も大きいかどうかを決定することはできませんすべての可能なバッグの貴重な。これは、たとえばNPとEXPの重要な違いです：EXPで、あなたはすべての可能な袋を超える列挙し、バッグは最高の一つであるについて、簿記を行うことができます。

最適化問題の決定バリアントはNPの一部である場合があり、最大化フレーバーと決定フレーバーを明確に区別する必要があります。決定フレーバーの質問は、「最適化問題と効用限界を考えると、その限界以上の効用を備えたソリューションがあります」（または最小化問題のためにわずかに修正されています）。

また、NPによって、Pの一部ではないNPの（仮想の）部分を意味すると仮定します。場合はP = NPもちろん、NP完全がまだ存在するが、それは等しくなりますP（その印象的ではない、（@AndrásSalamonによって多項式時間多対1の減少のような、削減のいくつかの概念のためのPとのみ一致）そして、あなたがあなたの質問で述べている「ギャップ」を減らすでしょう）。

私は、ほとんどの離散的な問題がNP完全であることをますます気づきます。

これで整理されました：Pにある最適化問題はたくさんあります：最短経路問題、最大フロー問題（積分容量の場合）、最小スパニングツリー、最大マッチング。これらの問題は「簡単に解決できる」ように見えるかもしれませんが、これらは依然として最適化の問題であり、多くの場合、構築（および正確性の証明）はそれほど簡単ではありません。したがって、この主張はすべての離散的な問題がNP完全であるとは限りません。与えられたPが等しくないNP、これらの問題は、このようにすることはできませんNP完全。

$\Sigma^P_i$

一方、継続的な問題の最適化はほとんどの場合簡単に達成できます。

NP困難な一般的な連続問題は、2次計画法です。

$\vec{x}$

\frac{{\vec{バツ}}^{T} \cdot Q \cdot \vec{バツ}}{2} + {\vec{c}}^{T} \cdot \vec{バツ}

$\dfrac{\vec{x}^T\cdot Q\cdot\vec{x}}{2}+\vec{c}^T\cdot\vec{x}$

A \cdot \vec{バツ} \leq \vec{b}

$A\cdot\vec{x}\leq\vec{b}$

実際、線形計画法も長い間NP困難と見なされてきましたが、非常に優れたヒューリスティック（シンプレックス法）を使用しています。ただし、KarmarkarのアルゴリズムはPます。

最適化問題が非凸オブジェクトを扱う瞬間から、一般的には、不可能ではないにしても、効率的なアルゴリズムを見つけるのは難しいでしょう。

書誌

[1] 計算の複雑さ、現代的なアプローチ、サンジーブアローラとボアズバラク

— ウィレム・ヴァン・オンセム
ソース

2

定義の段落は確かに混乱しています。ナップザックはNP最適化の問題です。最適化バージョンがNPにある場合、「不明」であることは事実ではありません。定義上、そうではありません。また、NPがPIe 3-SATと等しくないことを条件とするNP完全な問題は、P = NPであってもNP完全であるとは考えていません（実際P = NPの場合、Pのすべての問題はNP完全です）。

— サショニコロフ

@AndrásSalamon：要点。その部分を削除しました。それは確かに少しずさんでした。

— ウィレムヴァンOnsem

@AndrásSalamon：明らかにそうです。したがって、「PがNPと等しくない場合、これらの問題はNP完全ではありえません。」

— ウィレムヴァンOnsem

@AndrásSalamon：NP-completeのP=NPすべての問題が定義によりNPの一部であり、したがって拡張Pである場合、Pは多項式アルゴリズムがあることを意味します。ポイントは、Pのすべての言語には多項式アルゴリズムが存在しなければならないため、変換は重要ではないと思います。（せいぜい多項式）変換をとるかどうかは関係ありません。多項式のままなので、Pになります。言い換えると、元の要素はPにあるため、すべてのポリタイム変換を無料で実行できます（より複雑なクラスになりません）。

— ウィレムヴァンOnsem

2

最適化問題としてのナップザックは、決定問題ではないため、NP完全ではありません。いずれにせよ、私はあなたが言っていることを理解していますが、これはCStheory @ SEのような研究レベルのフォーラムで当然と思われる種類の学部レベルの詳細です。確率の収束がMathoverflowのほぼ確実な収束と同じではないことについて。

— サショニコロフ