正方形からの隣接行列の回復の複雑さ

私は次の問題に興味があります：行列が与えられたとき、その隣接行列が平方された頂点に無向グラフがありますか？ $n\times n$ $n$

この問題の計算の複雑さはわかっていますか？

備考：

もちろん、これはまた、マトリックス与えられる探索問題、と言うこともできるするための無向グラフの隣接マトリックスを、問題は、（無向グラフの）任意の隣接行列を見つけることであるように、。 $A^2$ $A$ $B$ $B^2 = A^2$
MotwaniとSudan（グラフのルートの計算は難しい、1994）とKutz（ブール行列のルート計算の複雑さ、2004）は、これと似ているが明確な問題がNP困難であることを示しています-ブール行列の下の隣接行列の平方のみを考慮します乗算。

cc.complexity-theory graph-theory

この問題は、与えられたペアごとの内積で

ベクトルの存在を決定することと同等です。

n

$n$

— モハマドアルトルコ

ごく最近、隣接行列ではなく確率行列に関するこの問題に対処する論文がありました（arxiv.org/abs/1411.7380）。この文脈で正方形であるという性質は、可分性として知られており、私が述べた論文でNP完全であることが示されています。

— マリスオゾール

@ MohammadAl-Turkistanyどのように同等ですか？OPの問題を解決するには、一般的なベクトル（整数値、特定のインデックスがゼロでなければならないなど）よりも追加の構造が必要です。

— ジェレミーくん

これは、学位シーケンスがグラフィックであるかどうかのチェックに関連する必要があります。

では、対角線が次数列を表し、

が頂点

共通の近傍数を表すことに注意してください。したがって、これはグラフィックの次数の問題に対する制限です。しかし、それを解決する方法がわかりません。

A^{2}

$A^2$

(A^{2})_{i j}

$(A^2)_{ij}$

i, j

$i,j$

— SamiD

回答:

二部グラフの二乗は多項式時間で認識できることが知られています（これを参照）。一般に、基礎となるグラフの周囲に基づいて、この問題の複雑さを特徴付けています。

最近、最適化のバリエーションが研究されました。これは、ある整数に対して最大（それぞれ少なくとも）エッジを持つグラフの平方根があるかどうかをテストする場合に問題のFPTアルゴリズムを提供します。 $s$ $s$

— ニヒル
ソース

回答のおかげですが、あなたが言及した結果はこの問題に関連していません-モトワニとスーダンの論文のように、与えられた行列は隣接行列であり、目標は隣接行列が平方される別のグラフを見つけることですブール行列の乗算は、指定された行列です。これに対して、この問題ではブールではなく整数行列の乗算です。つまり、この問題はグラフの平方根に関するものではなく、用語を使用しているためです。

— ベン・フィッシュ

@BenFishおっと。あなたの質問を誤解しました。整数行列の場合、単純に行列の平方根を近似する以上の方法はありませんが、これを重み付きグラフの平方根として計算することに興味があると仮定します（その方法はわかりません）

— ニキル

行列の平方根は、これを行うことは問題解決にはならないので、一意ではない@Nikhil

— レフReyzin

@LevReyzinあなたは正しいです。一般に、一意性はマトリックスのスペクトルから特徴付けることができると思います（おそらくそれらは必要十分条件を提供しません）。確率行列についてはいくつかの興味深い結果が知られています-eprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf

— Nikhil

基礎となるグラフがまばらでランダムなグラフである場合、多項式時間で「グラフ平方根」問題を解決できます。これは重み付きグラフにも当てはまります。このアイデアを使用する論文の例は、ソーシャルネットワークで重複するコミュニティを見つけることと、いくつかの深い表現を学習するための証明可能な境界です。グラフキューブルート、4番目のルートなどの同様のアルゴリズムに関するアイデアはありますか？

— プラティック
ソース