平方和法の数値精度？

Barak＆Steurerの調査とBarakの講義ノートから、二乗和法（SOS）について少し読んでいます。どちらの場合も、敷物の下で数値精度の問題を解決します。

私の（確かに限られた）メソッドの理解から、次のことが当てはまるはずです。

多項式の等式の任意のシステム所与実数値変数上のx ∈ R nはすべてのパラメータは、O （1 ）（nは、| E |、学位"及び各制約の程度）2 N "（= O （1 ））SOSメソッドは、変数の満足のいく割り当てを見つけるか、O （1 ）時間に存在しないことを証明します。 $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

私の最初の質問は、上記の主張が真実かどうかです（これを解決するためにSOSを使用しない素朴な議論がありますか？）。2番目の質問は、数値の精度がどこに収まるかです。すべての制約を満たす追加の精度内の割り当てを取得したい場合、ランタイムは1 / εにどのように依存しますか？特に、多項式ですか？$\varepsilon$$1/\varepsilon$

これの動機は、例えば、基本ケースがサイズのシステムになるまで、大規模システムに分割統治アプローチを適用することです。$O(1)$

編集： Barak-Steurerから、p.9（およびそれに至るまでの段落）の「次数平方和アルゴリズム」はすべてR上の解の問題を定義し、実際には擬似の定義-セクション2.2の分布はRを介しています。しかし、補題2.2から、バイナリ変数のない次数2 nでの解/反証が保証されないことがわかりました。$l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

それで、質問を少し絞り込むことができます。変数がバイナリでない場合、出力シーケンスが有限ではない（おそらく単調増加でもない？）ことは心配です。質問は次のとおりです：φ （l ）はまだ増加していますか？もしそうなら、加算精度εを得るためにどこまで行かなければなりませんか？$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

これはおそらく何も変更しませんが、私は私が実際にどれだけ大きな心配ですので、私のシステムは、（どの程度の一切反論はありません）充足を知ることが起こるにする必要があります。最後に、数値解法ではなく理論的解法に興味があります。$l$

この問題に関するボアズ・バラクのコメントは次のとおりです。

敷物の下で数値精度を徹底的に調べます-パリロやラセールなどのより「伝統的な」SOSの文献は、これらの問題を扱っています（たとえば、モニークローランの調査とその参考文献を参照）。階層は単調であることが知られており（次数擬似分布が特に次数l − 1であることを確認するのは難しくありません）、固定された方程式のセットに対して有限次数で収束します（これはPositivstellensatz）。正確な程度は異なる場合があります。多項式の全ての係数が有界であるとあなたは方程式の任意の割り当て1中でオフになっていることを解決し、ケースがある場合を区別しようとしている場合、一般的に、εは、その後、1がAにこれを離散化でき$l$$l-1$$\epsilon$ -netため δ変数方程式の程度、および数に関係 ε、および次いで（ネットが十分に「良い」と「のような立方体」であると仮定して）程度が必要とする略正味のサイズを記録しなければなりません。$\delta$$\delta$$\epsilon$

私の答えはおそらく不十分だと思いますが、完全を期すために残っています（おそらくより良い答えについては、ボアズのコメントを参照してください）

私たちは、ブール変数に自分自身を制限する場合は、請求をするとき見ることができますのためのすべてのI ∈ [ N ]程度のことを観察して2 n個である疑似分布が実際の分布である、あなたが持っていると仮定します以下を満たす多項式等式Eの解x上の擬似分布μ （x ）：$(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

と Σ のx ∈ { - 1 、1 } nと μ （X ）P 2（X ）≥ 0全ての多項式のための P高々度を有する$\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

しかし次数多項式が（例えば、インジケータ多項式を含むxは1 = 1 、xは2 = - 1 、xは3 = 1を有する2 - 3（1 + X 1）（1 - X 2）（1 + X 3）そのそれ以外の場合はすべてゼロ、その割り当てでは1です）。そうμ （X ）≥ 0のためのすべてのx ∈ $n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$ので、我々は結論 μは溶液上実際の分布である E。度 ℓの擬似分布は、関連度検索するための半正定値計画を用いて求めることができる ℓにおける擬似期待オペレータ N O （ℓ ）、我々は実際の分布を見つけることができるように、時間を μの時間に、N O （N ）、その擬似を使用して μのすべての瞬間を見つけるための期待値（現在は実際の期待値）。$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$$\mu$$n^{O(n)}$$\mu$

だから、、その後、O （1 ）時間でEの解の分布を見つけることができます。もちろん、ブルートフォース検索でも同じことが保証されます。$|E| = O(1)$$E$$O(1)$

ただし、解が必ずしもブール値であるとは限らない場合、解の分布を見つけるには次数擬似期待では不十分です。上記からわかるように、次数2 nの擬似分布が実際の分布であるという証明は、次数nの多項式が個々の割り当てを「選択」するのに十分であるという事実に依存します。もう1つの見方は、ブール変数多項式が考慮されることです。$2n$$2n$$n$、したがって、すべての単項式の次数は最大 nです。$\mod(x_i^2)$$n$

例えば、一方が4進変数ですべてのバイナリ変数を置換考えることができ、含めることによって言う。その場合、解の分布の回復を保証するためには、4 nの擬似期待度が必要になります。$(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

さて、理論的な保証のために、それはまた、スメールの17の問題として知られているpolynomalsのシステムのルートを近似するように思える、と明らかに解き、これはというのランダム化（ラスベガス）の多項式時間アルゴリズムが存在する-参照はhttp://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf。これはBlum-Shub-Smaleモデルにあるように見えるため、実際の操作はプリミティブであることに注意してください。これがあなたが必要とする保証を与えるかどうかはわかりません。