命令型理論の分岐

私が知っているほとんどの型理論は、それが意味する述語です

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

ほとんどの定理証明では、このpi型は同じ宇宙に属しProp、そうではないため、型付けされていませんProp : Prop。これにより、それらは述語になり、上記のような不可解な定義を許可しません。ただし、System FやCoCなどの非常に多くの「黒板言語」は、実際には必須です。実際、この不可解性は、言語に原始的に含まれていない構成要素のほとんどを定義するために不可欠です。

私の質問は、論理構造を定義する力があるので、不可逆性をあきらめたいのはなぜですか？不可解性が「計算」や「誘導」を台無しにするという発言を何人か聞いたことがありますが、具体的な説明を見つけるのに苦労しています。

コメントを詳しく説明して回答します。ラッセルの動機の1つは、XIX世紀の矛盾と矛盾の原因の一部として特定された「循環」定義を禁止することだったため、述語型理論の起源は型理論自体とほぼ同じです。ティエリー・コカンドはここで賢明な概要を説明します。この理論では、「レベル」またはタイプの述語は、「次の」レベルのタイプに属し、無限（可算）のレベルがあります。

ラッセルの述語的階層は（明らかに）既知のパラドックスを排除するのに十分でしたが、基礎システムとして使用することは非常に困難であることが判明しました。具体的には、実数システムとして、簡単なようでも、何かを定義することは極めて困難であった、とラッセルは公理、仮定ので、還元性の公理すべてのレベルが1に「縮小」されたと仮定しました。言うまでもなく、これは満足のいく開発ではありませんでした。

ただし、「無害な理解」のような「有害な」命令文に反して、この公理は矛盾をもたらさないようでした。基礎理論の後続の定式化（単純型理論、Zermeloの集合論）は、それらを大規模に受け入れ、述語のファミリー（おそらく集合の宇宙全体を定量化）、同じレベルの述語を作成しました。

1971年頃、マーティン・レーフは、この原理とさらなる公理の両方が成り立つ従属型理論を導入Type : Typeしました。このシステムは微妙な理由で矛盾していることが判明しました：素朴なラッセルパラドックスは（簡単な方法で）実行できませんが、それでも巧妙なエンコードにより矛盾を見つけることができます。これは、ラッセルのそれと同様の信仰の危機を引き起こし、私たちが知っていて愛している宇宙での予測型理論をもたらしました。

そこ「無実」impredicativityできるように理論を修復するための方法であるラ・構文の微積分のようなタイプの理論で、その結果、ツェルメロの集合論は、しかし、損傷が行われていた、と型理論の「スウェーデンの学校は」impredicativityを拒絶する傾向があります。

いくつかのポイント：

1. これは直観的な数学と何の関係がありますか？答えはそれほど多くありません。20世紀の変わり目に、数学者は、循環/含意原則の使用を非構成的推論と混同する傾向がありました（直観的推論は、除外された中間の使用と同様に、既存の数学的宇宙を前提としているように思われます）。ただし、完全に直観主義的な命令理論（IZFなど）があります。直観主義に興味のある人々は、何らかの理由で未だに偏見主義に興味を持っている傾向があります（もちろんこれは有罪です）。

2. 述語数学で何ができますか？マーティンが彼の答えで指摘するように、ヘルマン・ワイル（アンドレ・ワイルと混同しないでください）は、予測システムがペアノ算術と二次の間で表現力があることを出発点として、予測システムの表現力を探ろうとするプログラムを開始しました算術演算は、ほとんどの標準で命令型であることにほぼ同意しています（そして、型理論の面ではSystem Fに匹敵します）。このプログラムは、既知の数学的定理の強さを証明するために必要な公理（通常のアプローチの逆）で分類しようとしたため、「逆数学」と呼ばれました。のウィキペディアのページで概要を確認できます。このプログラムは非常に成功しました。XIX世紀の数学のほとんどは非常に弱いシステムでも簡単に対応できるからです。このプログラムが、例えば、より高いカテゴリー理論のより最近の結果に拡大縮小できるかどうかは未解決の問題です（疑いは、答えは「はい、多大な努力を払って」であるということです）。

1つの次元は型推論です。たとえば、System Fの型推論は決定不可能ですが、その一部の述語フラグメントには決定可能な（部分的な）型推論があります。

別の側面は、ロジックとしての一貫性です。著名な思想家は歴史的に数学の重要な基盤を持つことについて少し気まずい思いをしていました。結局のところ、それは循環推論の形式です。H.ワイルが最初の、あるいは最初の1人であった可能性があると思います。可能な限り多くの数学を予測的な方法で再構築しようとしました。私たちは、「飼いならされた」含意的な定義から矛盾が生じたことがないという意味で、不可逆性の循環性は古典数学において問題ではないことを学びました。時間が経つにつれて、私たちはそれらを信頼することを学びました。これ（パラドキサの不在）は経験的であることに注意してください観察！しかし、その奇妙な順序構造を持つ証明理論の開発の多くは、究極の目標として、「下から」数学のすべてを構築する、つまり、意味のある定義なしに構築したいという望みを持っています。このプログラムは完了していません。近年、数学の述語的基礎への関心は、パラドキサに関する心配から証明の計算内容へとシフトしており、これはさまざまな理由で興味深いものです。命令的な定義により、計算コンテンツの抽出が困難になることがわかりました。一貫性を心配するもう1つの角度は、カリーハワードの伝統です。Martin-Löfの元の型理論は、命令的であり、不健全でした。そのショックに続いて、彼は予測システムのみを提案しましたが、帰納的データ型と組み合わせて、不可逆性の力の多くを取り戻しました。

型理論は、主に社会技術的な理由で偏見に向かう傾向があります。

まず、不可逆性の非公式の概念は、（少なくとも）2つの異なる方法で形式化できます。最初に、システムFのような型理論は、型の数量化がすべての型（数量詞が属する型を含む）に及ぶ可能性があるため、命令型であると言います。したがって、一般的なIDおよび構成演算子を定義できます。

ただし、標準（ZFCなど）の集合理論では、これらの操作はオブジェクトとして定義できないことに注意してください。関数はドメインセットとコドメインセットの間の関係であり、単一の関数が恒等関数になり得る場合は、それを使用してセットを構築できるため、集合論には「恒等関数」のようなものはありません。すべてのセットの。（これは基本的に、ジョンレイノルズがSystem-Fスタイルのポリモーフィズムに集合論的モデルがないことを示した方法です。）

$X$$S$$P$$X$$P$$X$

したがって、Fスタイルの不可逆性は、セットとしての型の単純なビューと互換性がありません。型理論を証明アシスタントとして使用している場合、標準の数学をツールに簡単に移植できると便利です。そのため、このようなシステムを実装するほとんどの人は単純に不可逆性を取り除きます。このように、すべてに集合論的読み取りと型理論的読み取りの両方があり、あなたにとって最も便利な方法で型を解釈できます。