有限の「障害物」を持つベクトル加算システム

ベクトル加算システム（VAS）は、アクション 有限セットです。はマーキングのセットです。ランは、マーキング st空ではない単語です。そのような単語が存在する場合、はから到達可能であるとます。Nの$A \subset \mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$ ∀ I ∈ { 0 、... 、N - 1 } 、M個のI + 1 - M I ∈ A M $m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

VASの到達可能性の問題は決定可能であることが知られています（ただし、その複雑さは未解決の問題です）。

ここで、有限の禁止マーク（障害物）が与えられていると仮定しましょう。到達可能性の問題がまだ決定可能かどうかを知りたい。

直感的には、障害物の有限セットはパスをローカルでのみ干渉する必要があるため、問題は決定可能なままでなければなりません。しかし、それを証明するのは簡単ではないようです。

EDIT。@Jérômeの回答は受け入れられたままにしますが、フォローアップの質問を追加したいと思います：マーキングのセットがどうなりますか？$\mathbb{Z}^d$

このアイデアは、今日の午後にグレゴワール・ストレと行った議論に基づいています。

問題は次のように決定できます。

ペトリネットは、遷移と呼ばれるN d × N dのペアの有限集合です。遷移所与T = （→ U、→ V）、我々は、によって表すT →構成のセットに定義されたバイナリ関係N Dによって→ X T → → Y Aベクトルが存在する場合→ Z ∈ N Dのように、→ xは = → u + → zおよび$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$。私たちは、によって表す T → 1段階の到達可能関係⋃T∈Tトン →。この関係の再帰的および推移的閉包は T ∗ →で示されます。$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$

ましょう上古典的な要素ごとの部分的な順序であるN個の Dによって定義→ U ≤ → Xが存在する場合→はZ ∈ Nの Dよう→ X = → U + → Z。セットの上方閉鎖→ XのN dがセットされ↑ → Xベクトル{ → V ∈ Nの D | ∃ → X ∈ → $\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$。セットの下方閉鎖 → Xがセットされ↓ → Xベクトル{ → V ∈NのD|∃ → X ∈ → X$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$。$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

N dの有限集合→ Bのであり、Tがペトリネットの場合、すべての構成→ x、→ y に対して、新しいペトリネットT → Bを計算できることに注意してください→ X T → → Yおよび→ X、→ Y ∈ → Uの場合にかぎり→ X T → B → → $\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$。実際に、もしの遷移がある場合、それぞれについて→ B ∈ → B、聞かせてT → B = （→ U + → Z、→ V + → Z）→ zはベクトルでありますでN個の Dによって要素ごとに定義→ Z（I ）= 最大{ → B（I $t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$すべてのための 1 ≤ I ≤ D。お知らせその T → U = { T → B | T ∈ $\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$を満たす要件。$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

ここで、がペトリネットであると仮定します。→ Oは障害物のセットです。有限集合→ D = ↓ → Oを導入します。↑ → B = N d ∖ → DのようなN dの有限集合→ Bを効果的に計算できることに注目してください。LET Rは上に定義されたバイナリ関係であるN D ∖ → O によって→ X R → yの場合→ X = $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$、又は存在 → X '、 → Y '∈ND∖ → Oよう → X T → → X ' T * → B → → Y ' T → → yは。$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$

初期構成からランが存在する場合今、ちょうどそれを観察の最終ものとする→ Y障害物を避けること→ Oは、その後に障害物回避ものが存在→ Oで構成することにより、その通過→ D ∖ →をO最大でそのセットの枢機卿。したがって、問題は非決定論的に異なる構成を選択することにより減少します→ c 1、… 、→ c n in → D ∖ → O、fix → c$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$最初の構成として、最後の構成としてc n + 1 → y、すべてのjについて→ c j R → c j + 1を確認します。この最後の問題は、ペトリネットの古典的な到達可能性の問題に帰着します。$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$$j$

私は、VASと同等の状態を持つベクトル加算システム（VASS）についてのあなたの質問について考えていましたが、このソリューションを思いつきました。さて、ジェロームのいい答えを読みました。私の答えは非常に似ていると言わざるを得ないので、私の意見が正しいと思っても彼の答えを受け入れてください。

アイデア：VASS変換することが可能である VASSにV 'は禁止ベクトルが小さいか障害物に等しいこと。小さいが障害物に等しくないベクトルに到達することが許可されているため、これは私たちが望むものではありません。ただし、このようなベクトルには限りがあります。これにより、Vの遷移またはV 'の同等の実行のいずれかである有限数の実行への最小実行の分解が可能になります。したがって、はい、問題は決定可能です。$V$$V'$$V$$V'$

詳細：レッツであるDの -VASS、すなわちVは、このような有限の標識されたグラフであるT ⊆ Q × Zの D × Q。してみましょうO ⊆ Nは dは障害物の集合とします。してみましょうπ ∈ T *と、我々は書き込みたびから実行されから$V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$ P （U ）π → X Q （V ）π P （U ）、Q （V ）Q × X ↓ X = { Y ：Y ≤ X  いくつかのため  のx ∈ X $X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$すべての中間構成で。我々は示し。$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$

ましょうように最小ランであること最小ランすなわち、障害を回避します。次に、ピジョンホールの原理により、は有限回数しか入らないランとして因数分解できます。より正式には、、および このようなP （U ）π → N D ∖ O、Q （V ）π ↓ O ∖ O T 1、T ' 1 ... 、T N + 1、T ' N + 1 ∈ T ∪ { ε } π 1、... 、π N + 1 ∈ T * { P I（$\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$、
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$、
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$。
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$。

したがって、、および中間の構成を推測するだけで十分です。かどうかを試験変換することにより行うことができる新たに -VASS。各遷移が遷移のガジェットに置き換えられます。たとえば、場合、遷移は次のように置き換えられます。T 1、T ' 1、... 、T N + 1、T ' N + 1つの P （X ）* → N D ∖ ↓ O、Q （Y ）のV D V ' T ∈ T 4 | O | + 1 O = { （1 、5 ）、（2 、$n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$