平方除去は因数分解よりも簡単ですか？

二乗除去タスクは因数分解タスクに削減できるように思えますが、因数分解を二乗除去に削減する方法はありません。この「感情」をより正確にする方法はありますか。つまり、因数分解を平方除去に減らすことができれば違反される、一般に信じられているいくつかの仮説はありますか？しかし、正方形の除去が実際に因数分解より簡単である場合（上記の意味での概要）、次の問題はそれがNP中間問題であるかどうか（つまり、多項式時間アルゴリズムが既知であるかどうか）です。

以下は、四角形の除去と因数分解タスクの不器用な説明です。

してみましょうバイナリ表現で与えられます。してみましょうN = Π I P α I IとP Iプライム、α I ∈ N *、およびP I ≠ P jのためのI ≠ Jのこと素因数分解のn。$n\in\mathbb{N}^*$$n=\prod_i p_i^{\alpha_i}$$p_i$$\alpha_i\in\mathbb{N}^*$$p_i\neq p_j$$i\neq j$$n$

• 二乗除去では、のバイナリ表現が要求されます。$m=\prod_i p_i$
• ファクタリング、発見（のバイナリ表現）の非自明な因子の要求され、すなわちAの数Q = Π J P β jを jを有する1 < Q < N、β J ∈ N、及びβ J ≤ α J。$n$$q=\prod_j p_j^{\beta_j}$$1<q<n$$\beta_j\in\mathbb{N}$$\beta_j\leq\alpha_j$

多項式アルゴリズムは知られていないと思います。

論文によると、これは少なくとも1つの暗号システムで使用されています：

$p^k q$$p^ k q$

$pq$$\frac{p^k q}{pq}=p^{k-1}$

$\alpha_i=1$

$\alpha_i$$n$

$n$$n$

$n$$m$$m$$n$$m$$m$$x$

$p = \frac{m}{\gcd(x, m)}$$p$$\alpha_i$$n$$\alpha_i$$p$$n$

1つの素因数がわかっていると、同じ基準を満たす小さいを因数分解するという問題を減らすことができるため、アルゴリズムを繰り返すことができます。$n$$n'$

また、すべてのが等しい場合、正方形の削除は簡単であることを示すこともできます。それのはのでだけで、対数サイズを有することができる、そしてあらゆる可能計算することによってテストすることができますの乗根。$\alpha_i$$\alpha_i$$n$$\alpha_i$$\alpha_i$$n$

ただし、が等しくない場合、その方法で得られた結果は正しくありません。得られた結果は、正方形がない場合に限り正しくなります。また、@ joroは、数値が平方自由かどうかを決定する多項式アルゴリズムは知られていないことを指摘しました。$\alpha_i$

したがって、いくつかの平方の除去と因数分解は同等です。他の正方形の削除は簡単です。これら2つのケースを区別するのは難しいようです。$n$$n$