計算可能なシーケンスの予測（限界）は、停止の問題と同じくらい難しいですか？

質問：計算可能なシーケンスの予測（以下で定義）は、停止の問題と同じくらい難しいですか？

エラボレーション：「予測」は、予測が成功したことを意味します。つまり、前のn-1ビットへのアクセスが与えられたシーケンスのn番目のビットを予測しようとするタスクで、最初のビットから始まり、無限の計算可能なシーケンス全体）。

（Legg 2006による）単純な対角化の引数があり、チューリングマシンの予測子pには、無限に多くのエラーを発生させる計算可能なシーケンスがあります。（n番目の項として、シーケンス内の前のn-1項が与えられたときにpが予測するものと反対のシーケンスを構築します。）したがって、すべての計算可能なシーケンスを予測する計算可能な予測子はありません。オラクルを停止すると、そのような予測子を構築できます。しかし、そのような予測子があれば停止問題を解決できることを示すことができますか？

より詳細な

定義（レッグ） 予測子 pが試行シーケンスのn番目のビットが前のn-1ビットへのアクセスを与えS予測することがチューリングマシンです。予測がシーケンスのn番目のビットと一致しない場合、これを誤りと呼びます。p が Sに対して有限の誤りを犯す場合、pはSを予測すると言います。言い換えると、m> MごとにシーケンスstにMがある場合、pはSを予測し、pはSのm番目のビットを正しく予測します。最初のm-1ビットへのアクセスが与えられます。

正式には、予測マシンを3つのテープを持つものとして定義できます。シーケンスは1つのテープに入力としてビットごとに入力され、次のビットの予測は2番目のテープで行われ（マシンはこのテープ上で右にのみ移動できます）、マシンにワークテープがあります。両方向に移動できます。

単純な結果
上記の定義により、すべての有理数を予測する予測子があります。（有理数の標準のジグザグ列挙を使用します。リストの最初の有理数を予測することから始めます。誤りがある場合は、次の有理数に移動します。）同様の議論により、Nへのアクセスが与えられた予測子stがあり、N以下のコロモゴロフ複雑度のすべてのシーケンスを予測できます（すべてのNビットマシンを並列に実行し、最初に停止するマシンの予測を行います。限られた数のエラーしか発生しません）。

Citation Shane Legg 2006 http://www.vetta.org/documents/IDSIA-12-06-1.pdf （この投稿の著者ではありません）

実際、これは停止問題を解決するよりも簡単です。

してみましょうすべての合計計算機能のためのすべての計算機能を支配機能、すなわち、可能、我々が持っているものすべてが、有限個のため、。停止問題よりも厳密に低いチューリング次数をもつ関数が存在することは標準的な事実です。たとえば、Soareの本の「再帰的に列挙可能な集合と次数」を参照してください。これらは高チューリング度と呼ばれます。$f:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$$g:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$$n$$g(n)\le f(n)$

ましょう、から部分計算機能の標準的なリストであることに。$\varphi_e$$e\in\mathbb N$$\mathbb N$$\{0,1\}$

ここで、を使用して予測子ます。$f$$p$

$p(a_0,\ldots,a_{k-1})$シーケンスがと一致するように、がいくつかの数として選択されは可能な限り最小のです。ハングしている可能性のある計算が停止するのを待つことができないため、ステージ（多くの計算ステップ）まで計算を監視するだけです。そのようながない場合は、任意に設定します（たとえば）。$a_{k}\in \{0,1\}$$a_0,\ldots,a_k$$\varphi_t(0),\ldots,\varphi_t(k)$$t\le k$$f(k)$$f(k)$$t$$a_{k}$$=0$

ここで、が最小で、が実際に観測される計算可能なシーケンスを計算するとします。その後、我々は、すべてが、有限個のためであろう使用したがって、正しい選択ので、支配実行時間関数をするため、すなわち最低ステージ有しているの停止した。$q$$\varphi_q$$k$$t=q$$a_{k}$$f$$\varphi_q$$s(n)=$$\varphi_q(n)$