単純に型付けされたラムダ計算と高次ロジック

単純に型付けされたラムダ計算と高次ロジックの関係は何ですか？

Curry-Howardの下では、単純に型付けされたラムダ計算は命題論理に対応するようです。高次のロジックとどのように関係していますか？Geuversによるこのチュートリアルによると：http ://typessummerschool07.cs.unibo.it/courses/geuvers-1.pdf HOLの言語はSTTのようです。それはPROPではありませんか？どういう意味ですか？

STTを定義するとき、教会はHOLを念頭に置いていましたか？

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— lambda2
ソース

はい、教会はHOLを念頭に置いていました。STTからHOLを取得するコツは、関数のアプリケーションと関数の抽象化に加えて、equalityを使用することです。次に、あなたが書くことができます

として、

とりわけ、。この種の質問に対処するSTTの紹介として、「単純型理論の7つの美徳」が好きです。たぶん答えを書かなければならない…

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— トーマス・クリンペル

それで、カリー・ハワードについて話すとき、STTと同等の正しい論理は何でしょうか？HOLまたはPROP？

— lambda2 14年

Curry-Howardに関しては、それがHOLになるとは思わない。たぶんそれは直観主義的なPROPの乗法的断片、つまり「または」のない直観主義的なPROPです。しかし、それはCCC（デカルトの閉じたカテゴリ）のためであり、現時点では少し疲れています。ラムダはおそらく「含意」として翻訳されるでしょう。これはCCCの「指数」でした。CCCからの「製品」は「and」であったため、そのためにはSTTの「ペア」が必要です。そして、「または」はSTTの「和」型、つまりばらばらの結合であり、if「a」、「b」、または「c」がそれを行います。

— トーマスクリンペル14年

私は何か（またはすべて）を混乱させていると思います。STT〜= PROP（Curry-Howard経由）で、STTもHOLである場合、何らかの意味でPROPを使用してHOLを取得できますか？

— lambda2 14年

@ThomasKlimpel：コメントを回答に変える必要があります。

— コーディ14年

区別は次のとおりです。STLCが型レベルの追加コンストラクターでプリミティブ言語として使用され、少数の公理がHOLの完全な表現力を提供するのに十分である場合。

$\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

$\tau$ $\forall$

\frac{ϕ (x)}{\forall_{τ} (λ x . ϕ (x))} x : τ not free in the hypotheses

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ ϕ \end{matrix}}{ψ \supset ϕ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

$[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

$\lambda$

— コーディ
ソース

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

それらの賢い公理は何ですか？これは、平等性を証明する方法を提供することに関係していると思います。また、HOL拡張のレベルを明示的に区別する名前を知っていますか？（等式、次に多相型、次に依存型）。

— Hibou57

@ Hibou57公理は、優れた記事The Simple Virtues of Simple Type Theoryで概説されています。あなたが使用したもの以外に、STTのさまざまな拡張子を区別するための明示的な名前があることは知りません。

— コーディ