含意によって後に立証された長期予想

TCSで長い間証明されていなかった推測があったかどうかを知りたいと思います。それは後で簡単に証明できるかもしれない別の定理からの含意によって後で証明されました。

エルデシュとPOSAは、任意の整数のためにことを証明及び任意のグラフGのいずれかG有するk個の互いに素なサイクルまたはせいぜいサイズのセットがあるF （kは）頂点S ∈ Gように、G ∖ Sは森林です。（その証拠に、F （K ）∈ O （K ⋅ ログ・K ））。$k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

次として知られている固定グラフエルデスおよびポサ特性（正式な定義ではありません）：$H$

グラフのクラス関数がある場合エルデシュ-POSA性を認めFすべてのグラフのようにH ∈ Cといずれかについてのk ∈ Zと任意グラフのGが存在するいずれかのk個の互いに素な同形コピー（WRTマイナーまたは細分化）のがHにおけるGまたは頂点の集合が存在するS ∈ Gは、そのようなこと| S | ≤ F （K ）とG ∖ Sは、の全く同形コピーがありませんHを。$\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

この性質を認めているサイクルのクラスに対するエルドスとポサの結果の後、適切なクラスを見つけることは未解決の問題でした。グラフマイナーのVすべての平面グラフは有界ツリー幅を有するか、またはマイナーとして大きなグリッドが含まれ、手にグリッド定理を有することによって、彼らはエルデシュとPOSAプロパティは（マイナーのために）保持している場合とする場合にのみすることが示されたいずれかのことを証明したCであります平面グラフのクラス。ただし、問題はまだ細分化されています。しかし、未成年者の定理の証明は何らかの形で単純であり、私の知る限り、グリッド定理を使用しないと証明はありません。$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

有向グラフの最近の結果は、有向グラフの同様の領域での長年にわたる未解決の質問に対する回答を提供します。例えば、1つの非常に基本的な質問は、関数があることだった任意のグラフのようなGと整数K 、L、我々はセットを見つけることができますいずれかのS ⊆ V （G ）最大でのF （K + lは）ように頂点Gを- Sには少なくともlの長さのサイクルがないか、Gに少なくともlの長さのk個の互いに素なサイクルがあります$f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$。これは特別な場合にすぎませんが、場合、Youngerの推測として知られていました。その前に、ヤングの予想はリードらによってかなり複雑なアプローチで証明されました。$l=2$

有向グラフには非常に重要なケースがまだいくつかあることに言及する価値があります。例えば、上記の論文の定理5.6は、若いクラスの弱く連結された有向グラフへの推測の肯定的な拡張ですが、知識と数学的ツールを使用すると、それは簡単ではありません（または、そのための単純な引数を知らないかもしれません）。おそらく、それらのグラフの特性を改善することにより、それを証明する簡単な方法があります。

質問のタイトルは「些細な意味」を指しますが、その内容はその基準を正確に指定していないため、これは少し複雑なメッセージです。一般的なテーマに近い半有名なアイテム/例の1つは、（その後約40年前の）強い完全なグラフ予想の証明です2002年にマリア・チャドノフスキー、ニール・ロバートソン、ポール・シーモア、ロビン・トーマスによって。完全なグラフの認識のアルゴリズムの複雑さの問題は、強い完全なグラフ予想の証明力学に密接に結びついている/密接に関係していることが判明したが、これは予想の証明以前には正確に理解されておらず、知られていなかった。言い換えれば、強力な完全グラフ定理の分析/特性/力学に基づいて「完全グラフ認識はPにある」（または「低複雑度」など）が比較的迅速に解決されるという非公式の公開予想がありました。

完全なグラフを認識するための多項式アルゴリズム GérardCornuéjols、Xinming Liu、KristinaVušković2003