カテゴリ理論の単一性をスケルトンの概念に関連付ける

私がホモトピー型理論で働き、私の唯一の研究対象が従来のカテゴリーであるとしましょう。

ここでの同等性は、ファンクターおよび によって与えられ、カテゴリの同等性を提供します。自然な同型と存在するため、このファンクタと「逆」ファンクタユニットファンクターに変換されます。$F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ ${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

現在、単一性は、同等性を、カテゴリについて話すために選択した意図的型理論の恒等型に関連付けています。私はカテゴリのみを扱い、それらが同型のスケルトンを持っている場合は同等ですので、カテゴリのスケルトンに渡すことに関して一価の公理を表現できるかどうか疑問に思います。${\bf C}={\bf D}$

または、それ以外の場合、アイデンティティタイプ、つまり構文式 を基本的に「スケルトン（または同型）があり、とはどちらも同等です。 "？${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

（上記では、タイプ理論を定義しやすい概念の観点から解釈しようとしています。カテゴリー理論の概念です。道徳的には、公理がハードコーディングによって意図的なタイプ理論を「修正」しているように見えるので、これについて考えます等価性の原則。これは、カテゴリ理論ステートメントの定式化の自然な部分です。たとえば、普遍的なプロパティでのみオブジェクトを指定します。）

HoTTブックの第9章を参照します。特に、カテゴリは同形オブジェクトが等しくなるように定義されます。定義9.1.6を参照してください。例9.1.15の点から、本当に格好いいの「skeletality」の合理的な概念がありません。これは、平等が非常に弱いため、すでに「同型」を意味するためです。

さらに、定理9.4.16は言う

定理9.4.16： もしと、関数のカテゴリである（同一のファンクタで誘導により定義される）のタイプの同値です。$A$$B$

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$

定理は、Univalent Axiomが一種のカテゴリー理論家の夢を与えると私たちに教えています。同等のカテゴリーは等しいです。

ユニバレンスの公理をカテゴリーに関する記述に減らすことができるかどうか尋ねます。スケルトンを使用する試みは、「骨格」と言う良い方法がないため機能しません。定理9.4.16が一価の公理を意味するかどうかを尋ねることができます。カテゴリがオブジェクトのタイプ（groupoid ）と射のタイプ（セット）を持っているので、私が見る限り、これは当てはまりません。したがって、定理9.4.16は次のようなものになります。 1タイプのみの単一性公理。$1$$0$