C実装の最大計算能力

この本（または、必要に応じて言語仕様のその他のバージョン）を調べてみると、C実装の計算能力はどれくらいですか？

「C実装」には技術的な意味があることに注意してください。実装定義の動作が文書化されているCプログラミング言語仕様の特定のインスタンス化です。AC実装は、実際のコンピューターで実行できる必要はありません。ビット文字列表現を持つすべてのオブジェクトと、実装定義のサイズを持つ型を含む、言語全体を実装する必要があります。

この質問のために、外部ストレージはありません。実行できる唯一の入出力は、getchar（プログラム入力を読み取るため）およびputchar（プログラム出力を書き込むため）です。また、未定義の動作を呼び出すプログラムは無効です。有効なプログラムの動作は、C仕様に加えて、付録J（C99の場合）にリストされている実装定義動作の実装の説明で定義されている必要があります。標準で言及されていないライブラリ関数の呼び出しは未定義の動作であることに注意してください。

私の最初の反応は、Cの実装はアドレス指定可能なメモリの量に制限があるため、有限オートマトンに過ぎないということでした（sizeof(char*) * CHAR_BIT格納する際に個別のメモリアドレスは個別のビットパターンを持たなければならないため、ストレージのビット以上をアドレス指定することはできません）バイトポインター）。

しかし、実装ではこれ以上のことができると思います。私が知る限り、標準は再帰の深さに制限を課していません。したがって、必要なだけ再帰関数呼び出しを行うことができregisterます。アドレス指定不可能な（）引数を使用する必要があるのは、有限数の呼び出しを除いてすべてです。したがって、任意の再帰を許可し、registerオブジェクトの数に制限のないC実装は、決定性プッシュダウンオートマトンをエンコードできます。

これは正しいです？より強力なC実装を見つけることができますか？チューリング完全なC実装は存在しますか？

質問で述べたように、標準Cでは、型のすべての変数unsigned charが常に0からUCHAR_MAXまでの値を保持するように、値UCHAR_MAXが存在する必要があります。さらに、すべての動的に割り当てられたオブジェクトは、typeのポインターを介して識別可能な一連のバイトで表されることunsigned char*、およびその型のsizeof(unsigned char*)すべてのポインターがtypeのsizeof(unsigned char *)値の配列によって識別できるような定数が必要unsigned charです。したがって、同時に動的に割り当てることができるオブジェクトの数は、。理論的なコンパイラがこれらの定数の値を割り当てて 10 10 10個を超えるオブジェクトをサポートすることを妨げるものは何もありませんが、理論的な観点からは、どんなに大きなバウンドの存在も、無限ではないことを意味します。$UCHAR\_MAX ^{sizeof(unsigned\ char*)}$$10^{10^{10}}$

スタックに割り当てられたものがアドレスを取得していない場合、プログラムはスタックに無制限の情報を格納できます。したがって、任意のサイズの有限オートマトンでは実行できないことを実行できるCプログラムを使用できます。したがって、スタック変数へのアクセスは、動的に割り当てられた変数へのアクセスよりもはるかに制限されていますが、Cを有限オートマトンからプッシュダウンオートマトンに変えます。

ただし、別の潜在的なしわがあります。異なるオブジェクトへの2つのポインタに関連付けられた文字値の基になる固定長シーケンスをプログラムで調べる場合、それらのシーケンスは一意である必要があります。U C H A R _ M A X s i z e o f （u n s i g n e d c h a r ∗ ）しかないため$UCHAR\_MAX ^{sizeof(unsigned\ char*)}$可能性のある文字値のシーケンス、コードがこれらのポインタに関連付けられた文字のシーケンスを調べた場合、C標準に準拠できなかった、異なるオブジェクトへの多数のポインタを作成したプログラム。ただし、場合によっては、コンパイラーが、ポインターに関連付けられた文字のシーケンスを検査するコードがないことを判断することもできます。各「char」が実際に任意の有限整数を保持でき、マシンのメモリが数え切れないほどの整数のシーケンスである場合（無制限のテープチューリングマシンがあれば、実際には遅いがそのようなマシンをエミュレートできます）、 Cをチューリング完全言語にすることは確かに可能です。

C11の（オプションの）スレッドライブラリを使用すると、再帰の深さが無制限であれば、Turingを完全に実装できます。

新しいスレッドを作成すると、2番目のスタックが生成されます。チューリングの完全性には2つのスタックで十分です。1つのスタックは、ヘッドの左側にあるものを表し、もう1つのスタックは、右側にあるものを表します。

私はそれがチューリング完全だと思います：このトリックを使用してUTMをシミュレートするプログラムを書くことができます（私はすぐに手でコードを書いたので、おそらくいくつかの構文エラーがあります...しかし、私はロジックに（主要な）エラーがないことを望みます:-)

• テープ表現の二重リンクリストとして使用できる構造を定義する

    typdef struct {
      cell_t * pred; //左側のセル
      cell_t * succ; //右側のセル
      int val; //セル値
    } cell_t 

headポインタになりますcell_t構造

• 現在の状態とフラグを保存するために使用できる構造を定義する

    typedef struct {
      int状態;
      intフラグ。
    } info_t 

• 次に、ヘッドが二重リンクリストの境界の間にあるときにユニバーサルTMをシミュレートする単一ループ関数を定義します。頭が境界にぶつかると、info_t構造体のフラグ（HIT_LEFT、HIT_RIGHT）を設定して戻ります。

void Simulate_UTM（cell_t * head、info_t * info）{
  while（true）{
    head-> val = UTM_nextsymbol [info-> state、head-> val]; //シンボルを書く
    info-> state = UTM_nextstate [info-> state、head-> val]; //次の状態
    if（info-> state == HALT_STATE）{//プログラムを受け入れて終了する場合に出力
       putchar（（info-> state == ACCEPT_STATE）？ '1'： '0'）;
       exit（0）;
    }
    int move = UTM_nextmove [info-> state、head-> val];
    if（move == MOVE_LEFT）{
      head = head-> pred; //左に移動
      if（head == NULL）{info-> flag = HIT_LEFT; 戻り; }
    } else {
      head = head-> succ; // 右に動く
      if（head == NULL）{info-> flag = HIT_RIGHT; 戻り; }
    }
  } //まだ境界内にある...続行
}

• 次に、最初にシミュレーションUTMルーチンを呼び出し、次にテープを拡張する必要があるときに再帰的に自分自身を呼び出す再帰関数を定義します。テープを上部で拡張する必要がある場合（HIT_RIGHT）問題なく、下部でシフトする必要がある場合（HIT_LEFT）、二重リンクリストを使用してセルの値を上にシフトします。

void stacker（cell_t * top、cell_t * bottom、cell_t * head、info_t * info）{
  simulate_UTM（head、info）;
  cell_t newcell; //新しいセル
  newcell.pred = top; //新しいセルで二重リンクリストを更新します
  newcell.succ = NULL;
  top-> succ =＆newcell;
  newcell.val = EMPTY_SYMBOL;

  switch（info-> hit）{
    ケースHIT_RIGHT：
      スタッカー（＆newcell、bottom、newcell、info）;
      ブレーク;
    ケースHIT_BOTTOM：
      cell_t * tmp = newcell;
      while（tmp-> pred！= NULL）{//値をシフトアップ
        tmp-> val = tmp-> pred-> val;
        tmp = tmp-> pred;
      }
      tmp-> val = EMPTY_SYMBOL;
      スタッカー（＆newcell、bottom、bottom、info）;
      ブレーク;
  }
}

• 初期テープは、二重リンクリストを作成しstacker、入力テープの最後のシンボルを読み取るときに関数を呼び出す単純な再帰関数で埋めることができます（readcharを使用）

void init_tape（cell_t * top、cell_t * bottom、info_t * info）{
  cell_t newcell;
  int c = readchar（）;
  if（c == END_OF_INPUT）stacker（＆top、bottom、bottom、info）; //記号はもう必要ありません、開始
  newcell.pred = top;
  if（top！= NULL）top.succ =＆newcell; else bottom =＆newcell;
  init_tape（＆newcell、bottom、info）;
}

編集：それについて少し考えた後、ポインターに問題があります...

再帰関数のstackerすべての呼び出しが、呼び出し側でローカルに定義された変数への有効なポインターを保持できる場合、すべてが正常です。そうしないと、私のアルゴリズムは、無制限の再帰で有効な二重リンクリストを保持できません（この場合、再帰を使用して無制限のランダムアクセスストレージをシミュレートする方法がわかりません）。

呼び出しスタックのサイズに制限がない限り、呼び出しスタックでテープをエンコードし、関数呼び出しから戻らずにスタックポインターを巻き戻すことでテープにランダムアクセスできます。

EdIT：有限のRAMしか使用できない場合、この構造は機能しなくなります。以下を参照してください。

しかし、なぜスタックが無限になりうるのか、本質的なramはそうではないのかは非常に疑わしいです。したがって、実際には、状態の数に制限があるため、すべての通常言語を認識することさえできないと言います（無限スタックを活用するためのスタック巻き戻しトリックをカウントしない場合）。

認識できる言語の数は有限であると推測することさえできます（言語自体は無限である場合でも、たとえばa*大丈夫ですがb^k、有限数のksでのみ機能します）。

編集：現在の状態を追加の関数でエンコードできるため、これは正しくありません。したがって、すべての通常の言語を本当に認識することができます。

ほとんどの場合、同じ理由ですべてのType-2言語を取得できますが、状態とスタックの両方をcall-stack に配置できるかどうかはわかりません。ただし、一般的な注意事項として、アルファベットがラムの容量を超えるようにオートマトンのサイズをいつでもスケーリングできるため、ラムについては事実上忘れることができます。スタックのみでTMをシミュレートできる場合、Type-2はType-0になりますよね？

私はこれについて一度考えて、予想されるセマンティクスを使用して非コンテキストフリー言語の実装を試みることにしました。実装の重要な部分は次の関数です。

void *it;

void read_triple(void *back)
{
  if(read_a()) read_triple(&back);
  else reject();
  for(it = back; it != NULL; it = *it)
     if(!read_b()) reject();
  if(read_c()) return;
  else reject();
}

$\{a^n b^n c^n\}$

少なくとも、これはうまくいくと思います。ただし、基本的な間違いを犯している可能性があります。

修正バージョン：

void *it;

void read_triple(void *back)
{
  if(read_a()) read_triple(&back);
  else for(it = back; it != NULL; it = * (void **) it)
     if(!read_b()) reject();
  if(read_c()) return;
  else reject();
}

@supercatの答えに沿って：

Cの不完全性の主張は、別個のオブジェクトには別個のアドレスが必要であり、アドレスのセットは有限であると想定されていることに集中しているようです。@supercatが書いているように

質問で述べたように、標準Cでは、UCHAR_MAXunsigned char型のすべての変数が常に0〜の値を保持するような値が存在する必要がありますUCHAR_MAX。さらに、動的に割り当てられたすべてのオブジェクトは、unsigned char *型のポインターを介して識別可能なバイトシーケンスで表されること、およびsizeof(unsigned char*)その型のすべてのポインターがsizeof(unsigned char *)unsigned型の値のシーケンスで識別できるような定数が必要です。 char。

unsigned char*$\mathbb{N}$$\{0, 1\}$sizeof(unsigned char*)$\{0, 1\}^{\operatorname{sizeof}(\mathit{unsigned\ char*})}$$\mathbb{N}$sizeof(unsigned char*)$\mathbb{N}$$\omega$

この時点で、C標準が実際にそれを許可していることを確認する必要があります。

sizeof$\in \mathbb Z$