確率的チューリングマシンは停止の問題を解決できますか？

真にランダムなビットの無限のストリームを与えられたコンピューターは、それを持たないコンピューターよりも強力です。問題は、停止する問題を解決するのに十分な力があるかどうかです。

つまり、確率的コンピューターは、決定論的プログラムが停止するかどうかを判断できますか？

決定論的に不可能なことを行う確率的コンピューターの例：ギガバイトより大きいKolmogorov複雑さを持つ文字列を出力する小さなプログラム（長さが1キロバイト未満）を考えます。コルモゴロフ複雑性文字列の長さは、その文字列を生成する最短の決定論的プログラムの長さです。したがって、定義により、決定論的プログラムは、複雑さがそれ自体の長さよりも大きい文字列を生成できません。ただし、真にランダムなビットの無限ストリームが与えられた場合、小さなプログラムは、たとえば100億のランダムビットをエコーアウトし、それらのビットのコルモゴロフの複雑さが十分に高いことを期待することで、99.99999 ...％の成功でタスクを達成できます。したがって、優れたコルモゴロフの複雑さのストリングを生成することは、確率的プログラムの可能性の範囲内ですが、決定論的プログラムではまったく不可能です。

そうは言っても、本当に問題のある問題を真にランダムなビットで修正することが可能かどうか疑問に思っています。例えば、アルゴリズムは定理をランダムに生成し、特定の決定論的プログラムが停止することを証明/反証するのに十分なことがわかるまで、それらを証明/反証/破棄します。

編集：私はちょうど私が書いたもののいくつかは全くナンセンスであることに気付いた、それはごめんね。今、私は証明を変更し、使用している確率的機械の定義をより正確にしました。

確率的チューリングマシンの定義が正しいかどうかわかりません。無限の非圧縮性の文字列が書き込まれた追加のテープを備えたマシンであり、さらに決定論的なマシンのように動作しますか？非圧縮文字列を修正する場合、取得するクラスはおもしろくないようです。

確率的チューリングマシンはいくつかの方法で定義できると思います。私はかなり自然に感じの定義に使用されます（どの私の証明作品のために;）レッツは、そのような確率的なマシンを定義します。それはいくつかの無限の文字列が書かれた上で、追加のテープを取得し、我々は、このマシンは、言語を決定することを言うためている場合すべてのX ∈ Lそれは確率で停止し、受け入れ> $L$$x \in L$確率は、これらの追加のランダムストリング上、すべてのために採取され、X∉L確率でそれを停止し、不良品>$>\frac{1}{2}$$x \not \in L$。$>\frac{1}{2}$

決定論的機械の停止問題を解決する確率的機械が存在する場合、それを使用して、決定論的機械の停止問題を解決する決定論的機械Hを構築できることを示します。存在できません。$P$$H$

そのようなが存在すると仮定します。いくつかの入力xを持つ確率的機械Rを入力として取る決定性機械Mを構築できます。$P$$M$$R$$x$

• $R$$x$$R$$x$
• $R$$x$$R$$x$
• そうでなければループする

$M$$i \in 1, 2, ...$$R$$x$${{0,1}}^i$$R$

• 場合$>\frac{1}{2}$$i$ $R$$i$$M$
• 場合$>\frac{1}{2}$$i$ $R$$i$$M$
• $M$$i := i+1$

ここで、と確信しなければなりません$R$$x$$p >\frac{1}{2}$$i$$>\frac{1}{2}$$i$$i$$p >\frac{1}{2}$$i$$i$$p >\frac{1}{2}$

$H$$N$$x$$H(N,x) = M(P(N,x))$$M(P(N, x))$

• マシンは停止し、ランダムな文字列の半分以上を受け入れます
• マシンは停止し、半数以上のランダムな文字列を拒否します。

確率的アルゴリズムが述語を決定するという意味に依存します。

決定論的なチューリングマシンMに対して、次のような簡単な確率的アルゴリズムPがあります。

• P（M）は、Mが停止する場合、ゼロ以外の確率で受け入れます。
• P（M）は、Mが停止しない場合は受け入れません。
• P（M）は、Mごとに確率1で停止します。

したがって、確率論的アルゴリズムPは、この意味で決定論的チューリングマシンの停止問題を解決します。（ここで、「Mの停止」手段「Mの空の入力で停止します。」）

ただし、賢明な方法で要件を強化すると、決定論的チューリングマシンの停止問題を解決できる可能性は低くなります。例えば、

• P（M）が単に確率1で停止するのではなく、常に停止する必要がある場合、決定論的アルゴリズムによってPをシミュレートできることは明らかです。（「常に」と「確率1」の違いの説明については、Wikipediaを参照してください）
• P（M）の停止を要求してエラーの範囲を厳密にし、すべてのMに対して厳密に1/2を超える確率で正しい答えを与える場合（つまり、P（M）が停止または停止しないかどうかは気にしません。残りのケースで間違った答えを与えてください）、PはKarolinaSołtysの答えに記載されている引数を使用して決定論的アルゴリズムによってシミュレートできます。

したがって、確率的アルゴリズムでは、これらの意味で決定論的チューリングマシンの停止問題を解決できません。

$P$$P$$P$

これがラファエルのコメントの意味だったと思う。

$A\subseteq\mathbb N$$A$

de Leeuw、K.、ムーア、EF、Shannon、CE、およびShapiro、N.確率的機械による計算可能性、オートマタ研究、pp。183–212。数学研究の年報、いいえ。34.プリンストン大学出版局、ニュージャージー州プリンストン、1956年。

G.サックス、解散不能度、プリンストン大学出版局、1963年。