Principia Mathematicaスタイルの形式化に適した自動定理証明のパラダイムは何ですか？

ラッセルのPrincipia Mathematica（PM）と論理的実証主義に触発された本を所有しており、公理を決定し、それらから定理を導き出すことにより、特定の領域を形式化しようとします。要するに、PMが数学のためにしようとしたことを、そのドメインのためにしようと試みます。PMと同様に、自動定理証明（ATP）が可能になる前に作成されました。

私はこれらの公理を現代のATPシステムで表現し、最初に著者が（手で）推定した定理を推定しようとしています。私は以前にATPシステムを使用したことがなく、それぞれの長所、短所、意図したアプリケーションを備えた豊富なオプション（HOL、Coq、Isabelleなど）を与えられたので、自分の特定の目的。

著者の形式主義はPMを密接に反映しています。クラス（セット？）、クラスのクラスなど、最大6レベルの階層があります。一次、そしておそらく高次のロジックがあります。PMとの関係を考慮して、私は最初にMetamathを調査しました。PMのいくつかの定理が他の人々によってMetaMathで証明されたからです。ただし、MetamathはもちろんATPシステムではなく証明検証者です。

さまざまなATPシステムの説明を見ると、教会の型理論、建設型型理論、直観型型理論、型付き/型なし集合理論、自然演duction、ラムダ計算のタイプ、多型、再帰関数理論、平等の存在（またはそうでない）。要するに、各システムは非常に異なる言語を実装しているようであり、異なるものを形式化するのに適切でなければなりません。数学を形式化するための既存のライブラリは、私の目的には関係ないと思います。

ATPを選択する際に私が求めるべき特性に関するアドバイス、またはこの質問を読んだ後にあなたが持つかもしれないその他のアドバイスは大歓迎です。参考のために、ここに本のサンプルページを示します。残念ながら、PMと同様に、これはペアノラッセル表記法です。

本-

「生物学における公理的方法」（1937）、JH Woodger、A。Tarski、WFフロイド

公理は単なる意味論から始まります。例えば、

1.1.2の和である場合の部分に含まれる、および場合ならば任意の一部であり常にあるに属するの部分と共通する部分を有し： $x$ $\alpha$ $\alpha$ $x$ $y$ $x$ $z$ $\alpha$ $y$

$S =_{D f} \hat{x} \hat{α} {α \subset \vec{P^{‘}} x : . (y) : y P x . \supset . (\exists z) . z \in α . \vec{P^{‘}} y \cap \vec{P^{‘}} z \neq Λ}$ $S{ = }_{ Df }\hat { x } \hat { \alpha } \{ \alpha \subset \vec { { P }^{ ‘ } } x:.(y):yPx.\supset .(\exists z).z\in \alpha .\vec { { P }^{ ‘ } } y\cap \vec { { P }^{ ‘ } } z\neq \Lambda \}$

繰り返しますが、これはPeano-Russell表記法（Principiaの表記法）であることに注意してください。

後の公理には、次のような生物学的内容があります。

7.4.2メンデルのクラスの2人のメンバーの配偶子がペアで結合して接合子を形成する場合、特定のペアの結合の確率は、他のペアの確率と等しくなります。

これは、私が理解していることから、メンデル遺伝学の仮定でした。

これは3行の長さであり、以前に定義されたコンテンツに基づいているため、この表記は省略します。

定理の例-

これは、明らかに、メンデル遺伝学において意味のある解釈を含んでおり、生物学の歴史家ではないので、私にはわかりません。この本では、手で演deされました。

ありがとう！

— アトリヤ
ソース

この本を正確に追うことに歴史的な興味がありますか、それともその基本（基本設定と公理）を抽出し、利用可能な現代のシステムで理論を形式化できますか？

— アンドレイバウアー

@andrej：はい、現代のシステムで要点を抽出して形式化することが私の目標です。本の中で手で演everyされるすべての定理を演toする必要はないだろう。むしろ、本の中の公理から本の中にない定理を推論するのはクールだろう。

— アトリヤ14

その場合、テキストを理解してから、目的に最も合っていると思われる証明アシスタントや定理証明者でそれを行う必要があります。

— アンドレイバウアー14

回答:

Principia Mathematicaは、20世紀の変わり目に数学論理で発見されたさまざまなパラドックスに対する大部分の反応でした。しかし、「読めない傑作」として斜めに賞賛されることが多い作品自体はやや不格好で、より現代的な基盤が作られています。数学のほとんどを説明するには、いくつかの選択肢があります。カテゴリ理論は1つ、型理論はラムダ計算の拡張として一部のプロジェクトで人気がありますが、最もよく理解され、最も基本的なものはおそらく集合論です。

集合論にはいくつかの異なる定式化があります。選択の公理を持つツェルメロフランケル集合論は最も正統的なものであり、集合論愛好家によって愛情を込めてと呼ばれています。Tarski-Grothendiek集合論は、大規模なカテゴリーについて推論するためのTarskiの公理を含むほぼ類似した別の理論です。これらは検証には興味深いものですが、自動化された定理証明では、置換の公理スキーマが実装の課題を表す無限の数の公理を許容するため、やや困難です。これらの基盤は、Tarski-Grothendiek集合論のMizarや Metamathのような証明検証システムには完全に妥当です $\sf ZFC$ $\sf\ ZFC$ $\sf ZFC$ 、実際の定理証明システムの場合、有限公理化があると便利です。

おそらく最も適切な基盤は、フォン・ノイマン・ベルネイ・ゲーデル集合論、またはです。さらに、は保守的な拡張であることが証明されているため、の定理は定理です。 $\sf NBG$ $\sf NBG$ $\sf ZFC$ $\sf NBG$ $\sf ZFC$ 。私の意見では、この理論が自動推論に最も適している理由は、効果的で健全かつ完全な証明計算を認める一次論理で表現可能であり、有限公理化は、一次解像度で使用できることを意味しますきちんとした結果：ステートメントが決定可能である場合、最終的に証拠が見つかります。

命題論理は十分に表現力がなく、高次の論理ははるかに表現力はあるものの、効果的で、健全で完全な証明計算を受け入れません。集合論を用いた一次論理により、高次の論理理論を表現およびマッピングすることができます。そのため、基礎となるのはスイートスポットです...決定不能な文（Gödelに感謝）の可能性を除く多くの場合、半決定可能と説明されます。

Art Quaifeはこれについていくつかの作業を行いました。基本数学理論の自動化開発。解法に基づいた定理証明（Otter）と取り組みの優れたリファレンスで使用できるように、を一次論理で節形式で実装しましたこの種の作業の基礎は、エリオット・メンデルソンの数学論理入門です。 $\sf NBG$

現在、現代の証明アシスタントは、Principia Mathematiaのパラダイムの基礎にあまり関心がなく、日常の仕事の定理証明により有用であるため、高次論理、SAT / SMT解法、型理論などの断片をある程度サポートしています。より非公式で基本的でないアプローチ。しかし、もしPrincipia Mathematicaのようなことをしようとしているなら、有限公理可能な一次集合論を持つ一次解像度定理証明器が理想的です。

自動化された定理証明者がこれらの基礎から問題を攻撃する方法のいくつかの例については、Theorem of Problem for Theorem Provers（TPTP）サイトには多くの問題があり、数論の基礎的な問題の多くはセット理論。時間がある場合は、Goldbach予想のサイトでNUM006-1.pをチェックしてください。実行してみてください。決定可能であれば、最終的に証明が見つかります。 $\sf NBG$

あなたの本の定理は、集合論の言語で書かれているので、ほぼ確実にの定理になります。その本の遺伝学の公理は、ほぼ確実にセット理論的述語の定義として表されます。これは、ペアノ算術が述語の定義として表される方法とほぼ同じです。そこから、ATPの解決手順に従います。証明したい文を選択し、それを否定し、スコーレム標準形に変換し、次に句形に変換して、解決策に従います。空の句を見つけると、矛盾が見つかり、ステートメントが証明されます。 $\sf NBG$ $\sf NBG$

セット理論の観点から理論を定義しようとする場合、手元にあるタスクは、セット理論とは別の関係述語定義を見つけることです。これにより、セット理論の観点から述語を作成できます。繰り返しますが、この例は、集合論でペアノ算術をどのように定義するかです。ペアノ算術自体には、数値、加算、乗算、または平等の定義さえありません。等式のような関係のセットの理論的定義の例として、メンバーシップの観点から定義することができます：

$\forall$ xy（ z（z x z y） x = y） $\forall$ $\in$ $\leftrightarrow$ $\in$ $\leftrightarrow$

警告：学習曲線は非常に急です。これを追求するつもりなら、私の経験がそうであったように、あなたは完全な問題を把握する前に自分自身を数年見つけるかもしれません。すべての基礎的な言語にそれを埋め込むという巨大なタスクを引き受ける前に、あまり基礎的でないアプローチから理論を調べたいかもしれません。結局のところ、数え切れないほどの遺伝子の混合について推論する必要は必ずしもありません。

— でざきん
ソース

この詳細で解明された答えに感謝します！いくつかの質問：1.ウィキペディアは、「置換の公理スキーマは通常の数学のほとんどの定理の証明に必要ではありません。」と述べています。私の定理がそれなしで証明可能であり、それゆえNBGの必要性を否定する可能性はありますか？もちろん、自動化された定理証明者が{ZFC-置換の公理スキーマ}の使用を許可しないのであれば、それが可能だとしたらどうでしょうか？

— アトリヤ14

2.一次論理+集合理論が基礎に最適であることを考えると、HOL / Isabelle / PVS / etc（すべて高次）はすべて私の目的には過剰すぎると思いますか？また、型理論に基づいたものすべて（Coq et al。）は適切ではありませんか？したがって、Prover9 / Vampire / SNARKのようなものが適切でしょうか？私はSNARKで以前にいくつかの経験があります。それは、解像度により、多くのソートされた一次論理を平等で処理できますが、その中で集合論を表現する方法がわかりません。

— アトリヤ14

自動定理証明器は公理スキーマを使用できますが、実装が難しくなります。Prover9はそれらをサポートしていません。HOL、Isabelle、Coqはすべて、私が覚えている限りでは1次セット理論をサポートしており、おそらくプロジェクトに完全に適しています。NBGに他の理論を組み込むことはできますが、絶対に必要なわけではありません。数字に関することを証明するためにNBGにPeano算術演算を埋め込む必要はありませんが、論理構造を学習して理解するのに役立ちます。

— 出崎14

メンバーシップ述語の観点から理論の述語を定義することにより、後からいつでも理論を集合論に組み込むことができます。私はあなたのプロジェクトをすぐに完全に基盤にすることを心配しません。後でスナップインできます。

— 出崎14

その結果、Coq、HOL、Prover9とは異なるものであっても、事実上すべての証明者が私のプロジェクトに使用できるようです。そのような場合、スマートな意思決定戦略は何でしょうか？私はSNARK以外のすべてに不慣れです。「理想」とは、提供された公理系での新しい定理の発見です。

— アトリヤ14

いくつかのポイント：

私の知る限り、Principia Mathematicaは本質的に型付き一次論理を使用した集合論の形式化を使用しています。したがって、Prover 9や場合によってはACL2のような1次自動定理証明器を使用してステートメントを形式化するのは魅力的です。ただし、そこにはいくつかの集合論的構造（、）があります。これらは通常、1次ATPではあまりうまく機能しません。 $\in$ $\cap, \subset$
どれ現代アンドレイが示唆したように対話証明アシスタントはきっと、あなたの文を正式と証明する表現力を持つことになります。実際、算術を含むいくつかのステートメントがあるように思われるので、算術のステートメントを処理するための広範な理論をすでに持っているIsabelle、CoqまたはHOLのようなシステムを使用するのが賢明でしょう。私が現代に重点を置いているのは偶然ではありません：Automath以来、ユーザビリティの大きな進歩がありました。働く！）
最後に、ITPとATPにはかなり難しい学習曲線があり、証明を書いているようなシステムにこれらの定理を入力できると期待すべきではありません。特に最初の数か月（はい、数か月）には、深刻なフラストレーションと時間の損失が予想されます。メインの形式化に進む前に、最初にいくつかのチュートリアルを完了する必要があります。 $\LaTeX$

— コーディ
ソース

ありがとう！これは私が探していた一般的なアドバイスの一種です。この回答に承認済みのマークを付けます。進行するにつれて、おそらくより具体的/技術的な質問があるでしょう。

— アトリヤ14

集合論は一次論理のために作られています。メンバーシップという1つの述語だけで、すべての数学を一次理論に還元できます。そこから、結合、交差、サブセット、適切なサブセット、およびその他の関係の定義を作成できます。Prover9は完全に適切です。

— 出崎14

理論的には？はい。実際には？集合論を使って自然数を言うと、Prover9のようなシステムは全順序付けのような最も基本的なステートメントを証明できません。本質的に、集合論のようなシステムは、ATPシステムによって効率的に処理されるために多くの特定のヒューリスティックを必要とします。

N

$\mathbb{N}$

— コーディ14

Prover9は、しばしば自然数の理論的な構成を使用します。TPTPの数論の問題と数論の公理を確認してください。彼らは数論を集合論の定義として定義しています。ATPが解決定理証明者に必要な発見的方法は、空の句を検索するときに使用可能なリストを選択するための句であり、集合論は特別な例外ではありません。その他の理論は、関係述語によって集合論で定義されています。

— 出崎14