支配集合問題は、最大次数3 NP完全の平面2部グラフに制限されていますか？

グラフ内のDOMINATING SET問題のNP完全性の結果を知っている人はいますか？

最大次数3の平面グラフのクラス（Garey and Johnsonの本を参照）、および最大次数3の2部グラフ（NPのM.ChlebíkおよびJ.有界度グラフで集合問題を支配する」）が、文献では2つの組み合わせを見つけることができませんでした。

単に次何をする場合：Aグラフが与えられると、別のグラフを構築G ' = （V ∪ U 、Eを'）の各エッジ細分化することによりGを 4部に、ここで、Uは導入した新しいノードのセットです。U | = 3 | $G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$。$|U| = 3|E|$

グラフは2部構成です。さらに、Gが平面で最大値を持つ場合。次数3、$G'$$G$も平面で、最大値を持ちます。程度3。$G'$

ましょうに設定支配（最小値）であるG '。エッジを考える（X 、Y ）∈ Eパスを形成するために細分化された（X 、、B 、C 、Y ）におけるGを'。今、はっきりとの少なくとも一方、bが、cがであるD "。我々は複数の持っている場合はさらに、B 、CにDを'、我々は変更することができ$D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$ため、有効な支配セットのままであり、サイズは増加しません。例えば、我々が持っている場合 ∈ D 'および C ∈ Dを。したがって、私たちが持っているブログ | D 「 ∩ U | = | E | 。$D'$$a \in D'$、我々は等しく良好に除去することができる Cをから D 'と追加 yとに D $c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$$|D' \cap U| = |E|$

次に考える。その仮定のx ∈ VおよびX ∉ D 'を。その後、我々はノードを有していなければならない∈ D 'ように（X 、）∈ E '。したがって、エッジがある（X 、Y ）∈ E我々はパス有するように（X 、、B 、C 、Y ）におけるGは$D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$。以来と ∈ D '、我々は、B 、$a,b,c \in U$$a \in D'$、および支配する C我々が持っている必要があり、Y ∈ D '。したがってに Gのノード Yの近隣であり、Xと Y ∈ Dは。つまり、 Dは$b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$。$G$

逆に、Gの（最小）支配集合を考えます。支配集合構築D "のためのG "となるように| D ′ | = | D | + | E | 次のエッジについて（X 、Y ）∈ Eパスを形成するために細分化された（X 、、B 、C 、Y ）におけるG '、我々は追加」場合$D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$に$D'$及び Y ∈ D。我々は追加のCをする D 」場合のx ∈ Dと yの∉ D ; それ以外の場合は、 D ′に bを追加します。これで、 D ′が G ′の支配集合であることを確認できます。構成により、 Uのすべてのノードが支配されます。今、聞かせてのx ∈ V ∖ D "。そこである Y ∈ V （xは$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$ように$(x,y) \in E$、ひいてはパスに沿って我々は∈ D '支配、Xは。$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

要約すると、がサイズkの支配的なセットを持っている場合、G ′は最大でk + | E | 、およびG ′がサイズk + | E | 、Gは最大でkのサイズの支配的なセットを持ちます。$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

編集：イラストを追加しました。上：元のグラフ ; 中央：「正規化された」支配集合をもつグラフG '。下：任意の支配集合をもつグラフG '。$G$$G'$$G'$