計算におけるリングの形式的表現

代数的方法を使用していくつかの誘導部分グラフを検出することに関する論文を読んでいる間、エッジ理想は可換代数とグラフ理論を結びつける重要なツールであるように思われます。私は代数オブジェクトの計算に精通していないので、このトピックに関する参考文献や本はありますか？チューリングマシンでリングRを表現する際の特殊性、およびRで基本的なプロパティを決定する複雑さ（たとえば、Rの素理想の高さ）

あなたの質問は、「コンピューター代数」と呼ばれる分野（しゃれなし）に関連しています。さまざまなグラフ中心性メトリックを計算する代数的手法に取り組んでいたとき、私自身は包括的な調査を探していました。良い調査は見つかりませんでしたが、この本は部分的に役に立ちました。この「トピック」に関する研究論文はいたるところに散らばっており、しばしば「コンピューター代数」として明確に分類されていません。同型、因数分解（整数/多項式）、および行列乗算に基づくグラフアルゴリズムに関するアルゴリズムに関する論文を読むと、より多くの洞察が得られる場合があります。

私の知る限り：

1. 代数的計算モデルの下限について読んだ場合、通常の想定は、リングまたはフィールド操作が一定のコストである、つまりプリミティブとして与えられるということです。これは、トピックに関する主要な情報源の1つであるブルギッサー、クラウセン、ショクロラヒ代数複雑性理論（Springer、1997）で行われた仮定です。（そして、これは例えば代数回路によってモデル化されたものです。）

2. 多項式の同一性テスト手順を勉強するときなど、代数的複雑さの標準的な質問について上限について話すとき、標準的な仮定はリングまたはフィールド演算がポリタイムで計算できるということです。これは、整数または有理数に対して機能することを意味し、基本的な操作のこのような効率的な計算を可能にするエンコードスキームを簡単に見つけることができます。

3. 私が知っている他の目的のために、代数モデルに関して、リングまたはフィールドを表現する方法は本当の質問であり、時にはそれを行う効率的な方法がなく、決定不能性の質問さえあるかもしれません。私が知っているこの種の質問をカバーしている参考文献は、Shiva Kintaliが出した本であり、 Algorithmic Algebra、Bhubaneswar Mishra、Springer 1993：Chapter 3は特定のリングを表す方法を扱っています。

興味のある他の本は次のとおりです：Zur Gathen and Jurgen Gerhard、Modern Computer Algebra、Cambridge、1999.そして、Victor Shoup、A Computational Introduction to Number Theory and Algebra（Available online）。

また、「計算可換代数」および「計算代数幾何学」というキーワードで運がいいかもしれません。出発点としてCLOを試して、J。Symbolic Computation、Macaulay2やSingularなどのシステム、およびそれらを参照する論文を見てください。大きなハンマーはGr \ "obner basesであり、その計算は多くの代数的問題を解決しますが、一般に最悪の場合は二重指数関数になります。