削減することで、問題の扱いやすさについて多少なりとも楽観的になりますか？

ほとんどの複雑性理論家は一般に、次の哲学的ルールを信じているように思えます。

私たちは、問題のための効率的なアルゴリズムを見つけ出すことができない場合は、そして私たちは、問題の減らすことができますAを問題にB、そこにはおそらく問題のための効率的なアルゴリズムではありませんBのいずれか、。$A$$A$$B$$B$

これが、たとえば、新しい問題がNP-Completeであることが証明されたときに、最終的にP = N Pを示す可能性のある新しいアプローチ（問題）に興奮するのではなく、単に「難しすぎる」として提出する理由です。$B$$P = NP$

私はこれを別の科学分野の仲間の大学院生と話し合っていました。彼女はこの考えを非常に直感に反していると感じました。彼女のアナロジー：

あなたは探検家であり、北米大陸とアジア大陸の架け橋を探しています。何ヶ月もの間、米国本土からアジアへの陸橋を見つけることに失敗しました。次に、米国本土が陸路でアラスカ地域に接続されていることを発見します。アラスカからアジアへの陸橋は、米国本土からアジアへの陸橋を意味することに気づきますが、これは存在しないと確信しています。アラスカの近くを探索する時間を無駄にしません。あなたはただ家に帰ります。

私たちの以前の哲学的ルールは、この文脈ではかなり愚かに聞こえます。良い反論は考えられませんでした！だから私はあなたたちにそれを引き渡します：なぜ私たちは問題Aを簡単にするのではなく、問題Bをより難しくするものとして還元を扱うべきですか$A \to B$$B$$A$

これは非常に良い質問だと思います。それに答えるには、次のことを認識する必要があります。

• すべての削減が同じではありませんが、
• 楽観的であると感じるには、本当に役立つ何かを学ぶ必要があります。

通常、自明でない減少を発見すると、次のカテゴリのいずれかに分類されます。$A \to B$

1. 私たちは問題Aについて役立つ何かを学びました（問題Bについては何も学びませんでした）。
2. 私たちは問題Bについて落胆させる何かを学びました（そして問題Aについては何も学びませんでした）。

もう少し正確に言うと、これら2つのケースは次のように特徴付けることができます。

1. 問題Aには隠された構造があるため、問題Aを解決するための新しい巧妙なアルゴリズムを設計することができます。問題Bを解決する方法を知る必要があります。

2. いくつかの特別なケースでは、問題Bは基本的に問題Aに変装していることに気付きました。問題Bを解決するためのアルゴリズムは、少なくともこれらの特殊なケースを正しく解決する必要があることがわかりました。これらの特別なケースを解決することは、本質的に問題Aを解決することと同じです。問題Bを進めるには、まず問題Aをある程度進める必要があります。

タイプ1の減少は肯定的な結果の文脈で一般的であり、これらは楽観的であると感じる良い理由です。

ただし、NP硬度の証明などのコンテキストで遭遇する硬度の低下を考慮すると、ほとんどの場合タイプ2になります。

問題Aまたは問題Bの計算の複雑さについて何も知らない場合でも、削減がタイプ1またはタイプ2であるかどうかを判断できます。したがって、たとえばP≠NPを信じる必要はありません。楽観的か悲観的かを判断します。削減のおかげで学んだことを見ることができます。

類推から欠けているのは、関係する相対的距離の概念です。月との類推でアラスカを置き換えましょう：

あなたは探検家であり、北米大陸とアジア大陸の架け橋を探しています。何ヶ月もの間、米国本土からアジアへの陸橋を見つけることに失敗しました。次に、米国本土が月と陸地でつながっていることを発見します。あなたはすでに月がアジアから遠く離れていることを確信しているので、三角形の不等式によって北アメリカもアジアから遠く離れていることを確信することができます。

還元定理を常に硬さの表明と見なすのは事実ではありません。たとえば、アルゴリズムでは、LPとSDPの問題を解決して解決することがよくあります。これらは硬度の結果ではなく、アルゴリズムの結果として解釈されます。ただし、これらは技術的には削減されたものですが、これらをそういうものと呼ぶことはあまりありません。削減とは、通常、何らかの（NP-）ハード問題の削減です。

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$。ほとんどの研究者は、PがNPと等しくない可能性が高く、SATが指数関数的な時間を必要とすると推測します。つまり、SATは非常に難しいと考えられています。これらの推測を​​受け入れた場合、NPの問題の普遍性を証明する削減を問題が困難であると見なすことは完全に合理的です。（研究者がPがNPに等しくない可能性が高いのは別の問題であると考える理由は、それに関する理論ブログに関するいくつかのブログ投稿があります。）

下限を普遍性の結果に置き換える理由の一部（つまり、クラス内のすべての問題から問題への減少がある）は、一般的な下限を証明することに成功していない（現在の知識の状態と一致している）そのSATは線形決定論的​​時間で解くことができます）。

実際、アラスカの発見は、少なくとも最初は逆の効果をもたらします。それは、これまで西拡張しているので、それは人々がそれを考えさせるでしょう、ねえ、多分そこにある陸橋は、結局（類推ビーイング、ちょっと、多分P  =  NPこの新しい以来、NPのための良好な候補のような-complete問題のルックス多項式時間解を持つ）。しかし、アラスカが徹底的に調査され、陸橋が見つからなかった場合、人々はおそらくアジアとアメリカ大陸が分離していることを以前よりも確信するでしょう。

質問は、専門家によってあまり使用されない特定の類推/メタファーを紹介し、P / NPのみに焦点を当て、他の複雑性クラスについては言及しませんが、専門家は、Kuperbergによって作成された注目すべき図のように、エンティティの大きな相互接続されたユニバースとしてそれを見る傾向があります。複雑性クラスの類推の大規模なリストをコンパイルするのはすばらしいでしょう、多くのそのような類推があります。NPが完全であることが証明された「ファイリングアウェイ」問題と「新しいアプローチに対する興奮」について説明しています。

NP完全クラスの発見には最初の「興奮」があったことを理解できますが、P≠NPを証明するための40年以上の熱心な努力により、一部の「興奮」は今や薄れてしまいました。近くありません。歴史は、後に後悔を伴うこともあれば、明らかな進展が見られない問題に長い年月を費やした研究者でいっぱいです。したがって、NP completeは（アーロンソンの例えを借りて）一種の「電気柵」として機能し、「ここでは文字通り、複数の方法で」「手に負えない」問題に関与しすぎないように警告/ 警告します。

NPの完全な問題を「カタログ化」する主要な側面がまだ存在しているのは事実です。ただし、主要なNP完全問題（SAT、クリーク検出など）に関する大規模な「きめ細かい」研究は継続しています。（実際、非常によく似た現象が未決定の問題で発生します。未決定であることが証明されると、さらなる調査のために「ノーマンズランド」と判断されるようになります。）

したがって、すべてのNP完全問題は、現在の理論に関する限り、同等であることが証明されています。、これは時々バーマン-ハートマニス同型予想などの印象的な予想で示されます。研究者は、これがいつか変わることを期待しています。

この質問にはラベルが付けられています soft-question正当な理由ています。論文でアナロジーを議論している真面目な科学者はあまり見かけませんが、これは人気のある科学に変わり、代わりに数学的な精度/厳密さに焦点を当てることを好みます（そしてこのグループのコミュニケーションガイドラインで強調されているように）。それにもかかわらず、部外者/素人との教育とコミュニケーションにはいくつかの価値があります。

ここに、概念への「研究のリード」とともに、素人向けのいくつかの「カウンターアナロジー」があります。これは、より長いリストにすることができます。

• 問題には領土の類似性があります。しかし、既知のクラス内をテラ・インコグニータとして含む複雑性理論の主要な領域を考える方が理にかなっています。つまり、PがNPと交差する領域があります。PとNPの両方はかなりよく理解されていますが、領域P⋂NP-hard（PがNP-hardと交差）が空かどうかはわかりません。

• アーロンソンは最近、P / NPに混じることのない明らかに異なる2種類のカエル種の比metaを与えました。彼はまた、2つの間の「見えない電気柵」についても言及しました。

• 素粒子物理学は標準モデルを研究します。複雑さの理論が複雑さのクラスの構成を研究するように、物理学は粒子の構成を研究します。物理学では、複雑さの理論と同様に、一部の粒子が他の粒子をどのように生成するか（「境界を確立する」）について不確実性があります。

• 「複雑な動物園」、さまざまな機能を備えた多くのエキゾチックな動物のように、いくつかの小さな/弱いものといくつかの大きな/強力なもの。

• 複雑さのクラスは、さまざまな状態間の重要な「遷移点」（驚くほど物理物質の相転移に非常に深く類似している）を持つ時間 / 空間階層定理に見られる滑らかな時間/空間連続体のようなものです。

• チューリングマシンは、マシン「可動部分」とし、マシンが行う作業に相当し、エネルギーの測定を、そして彼らが持っている時間/スペース測定を。そのため、複雑度クラスは、ブラックボックスの入出力変換に関連付けられた「エネルギー」と見なすことができます。

• 数学の歴史には多くの類似物があります。つまり、円の二乗、5次方程式の代数解の発見などの問題です。

• インパグリアーゾの世界

• Fortnowsの新しい本は、マイニングに関する科学の一般的が多く含まれています。

• 暗号化/復号化：チューリングは第二次世界大戦中にこれに取り組んだことで有名であり、複雑さのクラスの違いについて証明する多くの定理は、復号化の問題に類似しているように見えるかもしれません。これは、Natural Proofsのような紙でより強固になります、複雑性クラスの分離が「破られる」擬似乱数ジェネレーターに直接関係するます。

• 圧縮/解凍：さまざまな複雑度クラスにより、さまざまな量のデータ圧縮が可能です。たとえば、P / polyにNPが含まれているとします。つまり、NPの完全な問題を「エンコード」「エンコード」できる「より小さい」エンティティ（つまり回路）が存在することを意味します。つまり、大きな（データ）構造を効率的に小さな（データ）構造に「圧縮」できます。

• 動物園/動物の類推に沿って、複雑性理論には強い盲人と象の側面があります。フィールドは、明らかに/おそらく非常に長い弧の初期段階にあり（これは、数百年または千年に及ぶ他の数学分野では信じられないか、前代未聞ではありません）断片化。

要するに、質問は「削減に関連した楽観主義」について尋ねます。科学者は通常、純粋に論理的な検索で感情を控えたり、時には笑ったりすることさえあります。この分野には長期的な悲観論と慎重な楽観論の両方のバランスがあります。当然のことながら、小さな勝利と漸進主義に焦点が当てられており、「運び去られる」ことはありません。