終了が証明できないチューリングマシン？

私は素朴な質問があります：終了は真であるが、自然で一貫した有限公理化可能な理論では証明できないチューリング機械はありますか？具体例ではなく、単なる存在証明をお願いします。

これは序数分析と関係があるかもしれません。実際、チューリングマシン場合、は、その終了（またはこれらの序数の極小値）を証明する一貫した理論の最小序数として定義できます。したがって、ようなが存在するかどうかを尋ねることは同等だと思いますか？ $M$ $O(M)$ $M$ $O(M) \geq \omega_1^{CK}$

turing-machines proof-theory halting-problem

— Super8
ソース

定量化は他の方法で機能しないのですか？公理としてTM Xの停止を追加するだけで、すべての入力で実際に停止するXに対して一貫性があります（問題のTMに対してのみ行う場合は有限です）。量指定子を逆にして、入力が公理系の整合性の証明でない場合は停止し、それ以外の場合は無限ループに入るTMはどうでしょうか。

— ヨナタンN 2014

あなたの提案は面白いです、ありがとう。質問を作成するときにあなたの懸念を認識していたので、要件に「自然」を追加しました。もちろん、問題は、この人工的な構造を除外する「自然さ」の正式な定義を与えることができるかどうかです。

— Super8 2014年

答えがノーだと思うのは、それが停止した場合、マシンを実行するだけで有限のステップで停止し、それが証明であるためです。その事実は、かなり強力な証明システムに変換できます。一方、Godelの証明できないthmを、停止しないことを証明できない非停止マシンにエンコード/変換/変換することは可能だと考えてください。この質問も同様です。すべての入力で停止するTMがありますが、プロパティは証明できません cs.se

— vzn

入力のグッドスタインのシーケンスを計算し、それがに達すると停止するチューリングマシンを構築できます停止はペアノ演算では証明できません。つまり、グッドスタインの定理は、ペアノの公理の算術を使用して証明することはできません。ローリー・カービー、ジェフ・パリ、ピアーノ算術のアクセシブルな独立性の結果（1982）を参照してください

M

$M$

G (n)

$G(n)$

n

$n$

0

$0$

M

$M$

— Marzio De Biasi

おかげで、私はそれらのエントリを知りませんでした。私が求めていることはより強力ですが、私は（PAなどの特定の理論ではなく）合理的な理論に対して証明できないことを望みます。質問に明確な答えがあるかどうかはわかりません。

— Super8 2014年

回答:

（固定された入力に）チューリングマシンの終了は、文とすべての通常の一次の算術理論はのために完全である文、すなわち、全ての真文はこれらの理論で証明可能です。 $\Sigma^0_1$ $\Sigma^0_1$ $\Sigma^0_1$

あなたが見れば全体の代わりに停止、すべての入力にすなわちTMは停止し、それがある -complete文と強い十分である任意のcomputably axiomatizable一貫した理論（例えばロビンソン言う拡張のための理論）がありますその理論ではその全体性を証明できないTM。 $\Pi^0_2$ $Q$

— カヴェ
ソース

はい。もちろん、問題は固定入力の場合は取るに足らないものなので、全体を探していました。私はあなたの主張とそれをどのように証明するかについて考えますが、現時点では、「計算可能に公理化可能」な理論を検討することで前述の問題がどのように除外されるのかわかりませんか？また、TMは考慮された理論に依存するステートメントで、何らかの対角化によってより強いステートメントを取得できますか？

— Super8 2014年

ここに簡単な方法があります。そのような理論の証明可能な合計の計算可能な関数のセットはceであり、合計の計算可能な関数のセットはceではありません。あるいは、理論の証明可能な合計の関数に対して対角化できます。

— Kaveh 2014年

考え直して、次のように問題の制限を考慮することをお勧めします。序数表記システム所与

序表す

、我々は対応する「基本理論」を定義することができる

にtransfinite誘導を可能にする

σ

$\sigma$

α

$\alpha$

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$

α

$\alpha$ 。TM与えられた

、我々はその後、定義します

最小の序として

終了するように、

理論によって証明することができる

M

$M$

O (M)

$O(M)$

α

$\alpha$

M

$M$

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ （つまり、表記法は自由に選択できます）。この定義は意味がありますか？

— Super8 2014年

@ Super8、わかりません。一般に、序数と理論の関連付けは標準的ではなく、関連付けるためにさまざまな方法があります。PRAのような弱い理論から始めて、基本的なシーケンスなどが計算可能な序数に帰納法を追加できますが、なぜそうしたいのかはわかりません。

— Kaveh 2014年

わかりました。問題に気づかなかったので、自分でより良い定義を見つけようと思います。

— Super8 2014年

私はロジックの専門家ではありませんが、答えはノーだと思います。チューリングマシンが停止し、システムが十分に強力である場合、その入力でチューリングマシンの完全な計算履歴を書き出すことができるはずです。計算の結果が遷移の終了シーケンスであることを確認すると、マシンが停止したことがわかります。チューリングマシンを理論上どのように形式化するかに関係なく、停止するマシンが実際に停止することを合理的な理論で示すことができるはずです。類推として、有限の合計がそれと等しいものに等しいことを証明しようとすることを考えてください。たとえば、5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42、または5 + 5 + 5 = 15であることを証明します。ステップ数が有限である限りこれが常に可能であるのと同じように、有限計算の結果も証明されます。

追加の明白な点として-理論に矛盾がある場合でも、実際にはそうでなくても、マシンが停止していることを示すことができます。実際に本当です。

— フィリップホワイト
ソース

最初の点に同意します。以下の返信をご覧ください。2番目の点については、一貫性のない理論は、TMの終了（実際には終了しない）を証明し、そこから一貫した理論への制限を証明します。

— Super8 2014年

私たちは同じことを言っていると思います。私はあなたが質問に「一貫性がある」と言ったことに気づきました、それを逃して申し訳ありません。とにかく、カヴェの答えはすべて同じことをカバーしていて、エレガントに書かれていると思います。

— フィリップホワイト