Erdosの不一致の問題と（理論上の）CSの関係は？

最近、Erdos Discrepancy Problem（EDP）のコンピューターベースの実験的研究（SATソルバーによる、以下に引用）に関するいくつかの新しい結果があります。この問題は、いくつかの（T）CS研究者によって引用され、研究されています。ただし、（T）CSへの（おそらく深い？）リンクはそれほど明白ではありません。

EDP​​から（T）CSへのリンクは何ですか？

以下は、EDPにおける（T）CSコミュニティの関心を示す参考資料です。

• KonevとLisitsaによるEDP​​へのSAT攻撃、およびGowersによる反応。また、経験的/実験的TCSへの他の接続（例：SAT自動定理証明）

• リプトンのブログでのEDP​​とテクニックの紹介

• TDPのEDPと Windows on Theoryブログの差分プライバシー

• EDP​​ polymathプロジェクト、コンピュータ科学者による貢献

不一致理論とコンピューターサイエンスの間には多くのリンクがあり、Bernard Chazelleは彼の著書でそれらのいくつかを美しく調査しています。多くのリンクも最近発見されました。たとえば、クナルのブログ投稿では、[MN]や[NTZ]とは異なるプライバシーへの接続について説明しています。別の例は、動的データ構造の更新/クエリ時間の下限を証明するために矛盾を使用するというラーセンのアイデアです。これらのリンクの多くは、同種算術プログレッション（HAP）でインスタンス化できます。これは与えるでしょう：

• 上の上限 HAPSの範囲スペースの-samples$\varepsilon$
• HAP範囲カウントの動的データ構造の更新/クエリに必要な時間の下限
• HAPクエリに非公開で応答するために必要なエラーの下限と上限

ただし、これらのリンクに関して、2つのことを認識しておく必要があります。1つは、HAPの範囲空間が非常に自然であることは明らかではないということです。整数のマルチセットである入力があり、入力内にHAPの要素がいくつあるかを知りたい場合はいつですか？こんなときは考えられませんが、何か足りないのかもしれません。

あなたが理解しなければならないもう1つのことは、これらすべてのアプリケーションが遺伝的不一致の概念に依存していることです。この概念は、より扱いやすくする不一致よりも堅牢です。使用可能な下限が強く、多対数因子内で近似可能であり、凸最適化問題の値とほぼ同じです。クナルがブログ記事で話している結果（紙はこちら）と、カロンがこのブログ記事で述べたアロンとカライによる構造基本的に一緒にHAPの遺伝的不一致を解決します。Kunalが説明しているように、HAPの遺伝的不一致の下限に対する直感は、遺伝的不一致と差分プライバシーとの間の緊密な関係と、以前の差分プライバシーの結果から生じました。

ただし、EDPはHAP の不一致についてです。不一致は遺伝的不一致よりもはるかに壊れやすく、そのため下限を下げることが難しくなります。これはまた、遺伝的矛盾よりもアプリケーションでの有用性が低くなります。そしてこれが、遺伝的差異の問題がかなりよく理解されている一方で、EDPがまだ広く開かれている理由です。

最後に、コンピュータサイエンスのアイデアに触発されたEDPを攻撃する1つのアプローチについて説明します。不確定なプログラムとの不一致を緩和する方法があります。詳細については、Bansalによる調査を参照してください。半定値プログラムの最適値は、その双対プログラムの実行可能なソリューションの値によって制限されます。したがって、この不確定性の半確定的な緩和に対するデュアルソリューションのファミリを示し、デュアルソリューションの価値が無限大になることを示すことで、EDPの証明を試みることができます。このような攻撃がうまくいかない理由はありません。特に、任意の大きなインスタンスに対して一定の値を持つ半確定緩和のソリューションを構築する方法がわかりません。実際、polymath5の多くの取り組みは、特定の構造を持つデュアルソリューションを見つけるか除外することに集中していました。

最悪の場合、任意の算術的な進行の不一致はです。下限は、Rothの1/4の定理として知られています。Lovaszは、半定値プログラミングを使用して定理の証明を提供します（ただし、二重解を構築するのではなく、主根について直接議論することによって）。証明については、セクション5.2を参照してください。彼のSDP調査。$\Theta(n^{1/4})$