NPの非自明なメンバーシップ

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にある言語の例はありますが、この言語のメンバーシップに多項式の目撃者が存在することを示すことによってこの事実を直接証明することはできませんか？ $NP$

代わりに、言語がであるという事実内の別の言語にそれを減らすことによって証明されるだろう 2の間のリンクは簡単ではありませんし、慎重な分析が必要です。 $NP$ $NP$

より一般的には、に問題があるという興味深い例があり、にあることを確認するのはですか？ $NP$ $NP$

準答えは、パリティゲームで勝者を決定する問題です（あっても）であることを示すには、深くて自明ではない位置決定性定理が必要です。ただし、この答えは理想的ではありません。これは、この正確な問題（位置戦略）の多項式証人の存在に要約され、別の異なる問題に帰着しないためです。 $NP$ $NP\cap coNP$ $NP$

もう1つはAKSの素数性アルゴリズムです。数が素数であるかどうかを判断するのは多項式ですが、先験的にこの事実の小さな目撃者はいません。それらの多くが上記の説明に適合するため、「驚くべき多項式アルゴリズム」を除外するとしましょう。決定論的ではない驚くべきアルゴリズムにもっと興味があります。 $NP$

reductions np

— デニス
ソース

12

我々は、素数がのでAKS前NPに知っていた

n > 2

$n > 2$ 素数IFFである

1 < r < n

$1<r<n$ ようにとのすべての素因数Qの、。

r^{n - 1} = 1 \mod n

$r^{n−1} = 1 \mod n$

n - 1

$n−1$

r^{\frac{n - 1}{q}} \neq 1 \mod n

$r^\frac{n-1}{q} \neq 1 \mod n$

— アルテムKaznatcheev

興味深いことに、私は素数証明書について考えていませんでした。

— デニス14

6

NPの非自明なメンバーシップの例の良いプールは、決定可能であるかどうか、しばらくの間開かれている問題から来るかもしれません。私の帽子のトップからの2つの問題：文字列グラフ認識とuncnot認識（およびより一般的なノット属）。ただし、どちらの場合も、多項式の目撃（つまり、通常の曲線/表面）が存在します-それらを見つけるのは困難でした。結び目もNPにあり、それも重要です。証明書は存在しますが、サイズに多項式限界があるためには一般化されたリーマン仮説が必要です。

— アルノー

「軌道問題」も長い間決定可能であることは知られていませんでした。P.教授リプトンは、この問題の歴史についての彼のブログに優れた記事があり、それが最終的にあることが証明されました：rjlipton.wordpress.com/2009/09/02/the-orbit-problem

— ジャガディッシュ

3

もう1つの例：グラフが与えられたら、それが完全かどうかを判断します。この問題は多項式時間で解決できますが、NPにあることを証明するには時間がかかりました。

— ジャガディッシュ14

20

整数プログラミング。

整数解がある場合、多項式サイズの整数解があることを示しています。見る

Christos Papadimitriou、「整数プログラミングの複雑性について」、JACM、1981

— カベ
ソース

4

Christos Papadimitriou、整数プログラミングの複雑性、JACM 28 765–768を参照してください。 dx.doi.org/10.1145/322276.322287（読む価値があり、長さは4ページのみです）。

— アンドラスサラモン14

1

ACM DLにアクセスできない場合は、ここからPapadimitriouの論文を入手できます。

— カヴェー14

17

問題は「グラフの交差数は最大でですか？」NPでは自明であり、直線交差数とペア交差数の関連問題のNPメンバーシップは非常に明白ではありません。cf. Bienstock、いくつかの恐らく難しい交差数の問題、Discrete Comput。Geometry 6（1991）443-459、およびSchaefer et al。、Recognizing string graphs in NP、J。Comput。システム科学。67（2003）365-380。 $k$

— user13136
ソース

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私のお気に入りの例は、アショクチャンドラとフィリップマーリンの古典的な1977年の結果です。彼らは、クエリ包含問題が接続クエリに対して決定可能であることを示しました。結合クエリの包含問題は、2つの入力クエリ間に準同型性があるかどうかを判断することと同じであることがわかりました。これは、無限集合上の数量化を含むセマンティクス問題を構文問題に言い換えて、有限数の可能な準同型をチェックするだけで済みます。準同型証明書のサイズは線形であるため、問題はNPにあります。

この定理は、データベースクエリ最適化の理論の基礎の1つを提供します。アイデアは、クエリを別のより高速なクエリに変換することです。ただし、元のクエリで結果が生成された一部のデータベースでは、最適化プロセスで新しいクエリが作成されず、回答が得られないという保証が必要です。

正式には、データベースクエリはの形式の式です、ここでは自由変数のリスト、はバインドされた変数のリスト、は関係記号を持つ言語の変数とをもつ1次式です。クエリは、実存的および普遍的な量指定子が含まれる場合があります。式には、関係原子の結合および分離が含まれる場合があり、否定も表示される場合があります。クエリはデータベースインスタンス適用されます $\mathbf{x}.Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q$ $I$ 、これは一連の関係です。結果はタプルのセットです。結果のタプルが置換されると、式を満たすことができます。一つは、2つのクエリを比較することができる：中に含まれているたび場合任意のデータベース・インスタンスに適用されいくつかの結果を生成し、その後、同じインスタンスに適用されまた、いくつかの結果を生じます。（結果が生成されなくてもあれば問題ありません $\mathbf{t}$ $\mathbf{x}$ $Q(\mathbf{t},\mathbf{y})$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$ $Q_1$ $Q_2$ しかし、封じ込めのための含意は、すべての可能なインスタンスのために保持しなければならないん）。クエリ封じ込め問題が尋ねる：照会する2つのデータベース与えられたと、される中に含まれている？ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$

Chandra-Merlinの前では、問題が決定可能であることはまったく明らかではありませんでした。定義だけを使用して、考えられるすべてのデータベースの無限のセットを定量化する必要があります。クエリが無制限であれば、問題は、実際には、決定不能さ：聞かせて常に真である式も、その後、中に含まれている場合に限っ有効です。（これは、1936年に教会とチューリングによって決定不能に示されたヒルベルトのEntscheidungsproblemです。） $Q_1$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$

決定不能性を回避するために、連言クエリの形式はかなり限定されていますは実存量指定子のみが含まれ、否定と選言は許可されません。したがって、は関係原子のみを結合した正の実存的公式です。これはロジックの小さな断片ですが、有用なデータベースクエリの大部分を表現するには十分です。SQL の古典的なステートメントは、連言クエリを表します。ほとんどの検索エンジンクエリは接続クエリです。 $Q$ $Q$ SELECT ... FROM

クエリ間の準同型を簡単な方法で定義できます（グラフ準同型に似ていますが、少し余分なブックキーピングがあります）。Chandra-Merlinの定理によると、2つの結合クエリおよび与えられた場合、からへのクエリ準同型がある場合、は含まれます。これによりNPのメンバーシップが確立され、これもNPハードであることを示すのは簡単です。 $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$ $Q_1$

Ashok K. ChandraおよびPhilip M. Merlin、リレーショナルデータベースでの接続クエリの最適な実装、STOC '77 77–90。土井：10.1145 / 800105.803397

クエリ封じ込めの決定可能性は、後に論理和がに複雑さを上昇させる可能にするが、論理積クエリ（論理和が許可されている実存正クエリ）の組合に拡張した -complete。決定可能性および決定不能性の結果は、回答の数を数えるとき、出所で注釈を結合するとき、または確率的データベースでクエリの結果を結合するときに発生する半環評価を含む、クエリの包含のより一般的な形式でも確立されています。 $\Pi^P_2$

— アンドラス・サラモン
ソース

4

二次ディオファントス方程式に関するいくつかの論文を読んでいる間、私は良い候補を見つけました。

JC Lagarias、バイナリ二次ディオファントス方程式の解の簡潔な証明書（2006）

要約から：... は、によって与えられるバイナリ二次ディオファントス方程式のバイナリエンコーディングの長さを示す。が、非負の整数解を持つような方程式であると仮定します。この論文は、がチェックイン可能なソリューションを持っているという証明（つまり、「証明書」）があることを示しています。 $L(F)$ $F$ $a x_1^2 +b x_1 x_2+ c x_2^2 +d x_1+e x_2 + f = 0$ $F$ $F$ ビット操作。この結果の結果として、集合は複雑度クラスNPにあります... $O(L(F)^5 \log L(F) \log \log L(F))$ $\Sigma = \{F : F \text{ has a nonnegative integer solution}\}$

...しかし-正直に言うと、それが自明ではないという唯一の証拠は、論文のページ数です... 62！:-)

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

4

トレランスグラフ認識の認識が開かれたとき、次の論文はそれがNPにあることを示しました。

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X04000940

（後で、トレランスグラフの認識はNP完全であることが示されました：http : //arxiv.org/abs/1001.3251）

— ジム
ソース

3

さまざまな種類の無限状態システムの到達可能性を決定することは、決定できない場合もあります。いくつかの興味深い特殊なケースでは、十分に小さく効率的にチェック可能な証明書が常に存在し、そのような問題をNPに入れます。以下は、1カウンターパラメトリックオートマトンの適切な処理です。

Christoph Haase、Stephan Kreutzer、JoëlOuaknine、James Worrell、簡潔でパラメトリックなワンカウンターオートマトンの到達可能性、CONCUR 2009、LNCS 5710 369–383。doi：10.1007 / 978-3-642-04081-8_25（拡張バージョン）

— アンドラス・サラモン
ソース

3

$NP$ $L_1, L_2$ $L_1\in NP$ $L_2\notin NP$ $L$

L = L_{1} if the twin prime conjecture is true, and L = L_{2} otherwise

$L=L_1 \; \mbox{if the twin prime conjecture is true, and } \; L=L_2 \; \mbox{otherwise}$

$L\in NP$ $L\in NP$ $NP$

— アンドラス・ファラゴ
ソース

5

L = {x : x \in L_{2} \land \neg \exists m \leq | x |

$L = \{x : x \in L_2 \wedge \neg\exists m \leq |x|$

}

$\}$

L_{2}

$L_2$

— ジョシュアグロチョフ14