ローカルオートマトンの状態数

決定性オートマトンと呼ばれる -localがためにすべてのための場合集合最もに含ま1つの要素。直感的には、長さ単語が状態につながる場合、この状態は一意であるか、長さの任意の単語とは異なる表現になります $\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$ $k$ $k > 0$ $w \in X^k$ $\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$ $w$ $k$ 最後のシンボルは、それが導く状態を決定します。 $> k$ $k$

オートマトンの場合は今 -local、それはである必要はありません -localためのいくつか、それがなければならない -localためのいくつかの単語の最後のシンボルの原因は、もしあれば、一意に状態を決定します。 $k$ $k'$ $k' < k$ $k'$ $k' > k$ $|w| > k$

次に、オートマトンの状態数と局所性を結び付けようとします。私は推測します： $k$

補題：レッツも -local、もし場合、オートマトンも-地元。 $\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$ $k$ $|Q| < k$ $|Q|$

しかし、私は証明に失敗しました、提案やアイデアはありますか？

私は、オートマトンの状態数について導出何かにこの補題により、期待していない -localすべてのため与えられた固定が、いくつかのために-local 。 $k$ $k \le N$ $N > 0$ $k$ $k > N$

fl.formal-languages automata-theory synchronization

— ステファンH
ソース

回答:

ことをあなたが言うので、持っている必要があり、最大で一つの要素、私はあなたがDFAのバージョンを使用することを前提とします部分的でできます。これは反例である： $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$ $\delta$ のための、及び。と明らかにこの質問には関係ありません。 $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$ $q<4$ $\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$ $F$ $q_0$

オートマトンは、 -localはなく -local、以降。 $6$ $5$ $T_{abaab} = \{0,3\}$

編集：この反例は機能しません。コメントが意味をなすように保持します。ただし、次のようになります。

取るの遷移と、。このオートマトンは $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$ $0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$ $5$ -localではなく、 -local：のために、我々はパスを取得及び、すなわち。 $4$ $aaba$ $0\to 1\to 2\to 0\to 1$ $1\to 2\to 3\to 2\to 3$ $T_{aaba}=\{1,3\}$

— クラウス・ドレーゲル
ソース

オートマトンに何か問題があります。特定の遷移を忘れましたか？単語

私は開始場所から関係なく、無の状態にリード...

a b a a b

$abaab$

— StefanH

私はそれは正しいはずだと思います-少し異なって述べられています、遷移は次のとおりです：

および

。そして、あなたが取得するパス

ある

0 \to 1 (a), 1 \to 2 (a, b), 2 \to 3 (a, b), 3 \to 4 (a),

$0\to 1 (a), 1\to 2 (a,b), 2\to 3 (a,b), 3\to 4(a),$

4 \to 0 (b)

$4\to 0(b)$

a b a a b

$abaab$

および

。

0 \to 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 0

$0\to 1\to 2\to 3\to 4\to 0$

3 \to 4 \to 0 \to 1 \to 2 \to 3

$3\to 4\to 0\to 1\to 2\to 3$

— Klaus Draeger、2014年

ごめんなさい！

— StefanH 2014年

ああ、実際はそうではありませんが、別の理由があります。あなたはそれらのパスを得るかが、その後あなただけ繰り返すことができ

無期限-このオートマトンではありません

いずれかのために-local

。

a b a a b

$abaab$

k

$k$

k

$k$

— クラウスドレーゲル2014年

もちろん、一般に、オートマトンは、2つの異なる

、および

および

で

ような単語

。

p, q

$p,q$

w

$w$

δ (p, w) = p

$\delta(p,w) = p$

δ (q, w) = q

$\delta(q,w) = q$

— StefanH 2014年

遅い回答ですが、同期遅延の限界はいくつかのクラスのオートマトンについて研究されています。たとえば、あいまいでないオートマトンを参照してください。ベアル他 MCS'08。

特に; ローカルオートマトンの同期遅延の境界で示されているように、遅延を持つ決定論的オートマトンのファミリーがあります。ベアル他 TCS'98は、対応する上限に一致します。 $\Omega(|Q|^2)$ $O(|Q|^2)$

PS論文で定義されている同期遅延は、決定論的ローカルオートマトンがローカルである最小です。 $k$ $k$

— ジョセフスタック
ソース

同期遅延がk-localと同等であることを示唆しているようです......？

— vzn 2014

TCS'08論文で引用しているように、ローカルDFAの場合、「同期遅延は1+最長の非同期シーケンスの長さ」であり、非同期シーケンスは2つの異なる状態につながる可能性があるワードです。私にとって、これは定義により、オートマトンが

ローカルである最小の

です。私が間違っていると思いますか？

k

$k$

k

$k$

— ジョセフスタック

良い答えは重要な詳細を省かないでしょう。それらは（ほぼ？正確に？）同等である可能性がありますが、これは紙面や公開された接続にない新しい "ブリッジthm"になります...？もしそうなら、それはどこかでより詳細に肉付けされる必要があります...

— vzn

OK。要点を強調するために回答を編集しました。定義をチェックする以外にブリッジは必要ないと思います。

— ジョセフスタック

両方の定義を正確に記述し、同等であることを証明することをお勧めします。これまでの説明のためのthx。

— vzn 2014