Almost-2-SAT NPは難しいですか？

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3項以上の句の総数（幅ではない）が定数によって制限される場合、CNF SAT問題NPは難しいですか？特にそのような条項が1つしかない場合はどうでしょうか。

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
ソース

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2つ以上の持つそのような節が1つしかない場合、そのような式を解くことはで自明です。場合有するの用語のそれぞれ試みる満たすの部分的な割り当てを、次に既知の線形時間法を用いて、残りの2-SAT式を解きます。最終的には、数式全体の解が見つかるか、または時間で満足できないことが証明されます。ここで、は数式全体の変数の数を超えることはできません。

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— カイルジョーンズ

@KyleJonesしかし持つ単一句リテラルが有するを満足割り当てだけでなく、。は問題に限定されないため、このアプローチは指数時間アルゴリズムを提供します。

k

$k$

2^{k} - 1

$2^k-1$

k

$k$

k

$k$

— David Richerby 2013

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@DavidRicherby句を満たすには、リテラルの1つをtrueに評価するだけで済みます。その後、この句は無視でき、残りは2-SAT式のみになります。リテラルは、割り当てを試すだけでよいことを意味します。

k

$k$

k

$k$

— カイル・ジョーンズ

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制限を少し緩めると、問題がNP困難になることに注意してください。

制限されたサイズの句の数が固定されている場合、十分な変数を持つインスタンスを検討することにより、句内のリテラルの平均数は、必要に応じて2に近くなります。あなたが指摘するように、節のサイズが制限されている場合、多項式である単純な上限があります。

対照的に、句あたりのリテラルの平均数である場合、少なくとも $2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

$m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

この削減は、「大きな」句が3つのリテラルに制限されているバージョンでさえNPハードであることを示しています。

残りのケースは、いくつかの大きな句が制限されたサイズではない場合です。大きな節ごとに問題が難しくなるようです。2つの条項の場合については、PǎtrathecuとWilliamsによるSODA 2010の論文を参照してください。これは、これが準二次時間で実行できれば、SATのアルゴリズムが向上すると主張しています。それらの引数がより多くの句に拡張される可能性があります。これは、上限を改善できないことを示す証拠になります（ある形式の指数時間仮説を法とする）。

— アンドラスサラモン
ソース

接線方向にのみ関連していますが、「ほぼ2 SAT」を別の方法で定式化し、高い硬度を証明する最近のECCC論文があります：eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Sasho Nikolov

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はい、分かりました。答えはいいえだ。これはポリタイムで解決できます。3つ以上の項ごとに、リテラルを選択してtrueに設定します。次に、残りの2土問題を解きます。いずれかが解決策を提供する場合、それは全体的な問題の解決策です。3つ以上の項の数が固定されているため（cなど）、そのようなすべての句のサイズが<= mの場合、O（m ^（c）* n）で実行されます。O（m ^ c）は可能な選択をそれぞれ通過し、残りの2土問題を解くにはO（n）を掛けます。

— dspyz
ソース

m

$m$

それは、mが原子の数によって暗黙的に制限されるためです。明らかに、問題にアトムがあるよりも多くのリテラルを句に含めることはできません。多分私はm <= n

— dspyz