ハイパードクトリンとモナディック2次論理

この質問は、本質的に私がMathoverflowで質問したものです。

モナディック2次（MSO）ロジックは、単項述語を数量化した2次ロジックです。つまり、セットに対する定量化です。コンピュータサイエンスで研究されている構造の基礎となるいくつかのMSOロジックがあります。

質問1.モナディック2次論理のカテゴリセマンティクスはありますか？

質問2.カテゴリカルロジックの扱いは、「高次の直観的ロジック」についてよく語られます。2次の述語を定量化するのではなく、より高次の関数を参照していると思いますか？

質問3.（2013年11月8日、ニールの回答の後に追加）1次数量化（以下で説明するピッツの表現に関して）の私の理解は、射影射の引き戻しに関して定義されていることです。。具体的には、普遍的数量化は右側の随伴として解釈され、実存的数量化は左側の随伴として解釈されます。これらの随伴者は、いくつかの条件を満たさなければなりません。これは、ベックチェヴァリー条件やフロベニウス相反条件と呼ばれることもあります。 $\pi^*$ $\pi$ $\pi^*$ $\pi^*$

述語を定量化したい場合、私がデカルトの閉じたカテゴリーにいると想定すると、図はほぼ同じですが、以下のは以前とは構造が異なります。 $X$

\exists_{I, X}, \forall_{I, X} : P_{C} (I \times X) \to P_{C} (I)

$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$

そうですか？

私の精神的障害は、以前は一次ハイパードクトリンを扱っていたため、カテゴリをデカルト閉にする必要がなく、後でそれを考慮しなかったためだと思います。

背景とコンテキスト。 私は、Andy Pittsによるコンピュータサイエンスの論理のハンドブックでカテゴリカルロジックのプレゼンテーションを扱っていますが、博士論文でのトリポス理論の扱い、およびAwodeyとBauerのメモにも精通しています。私はタイプの Croleのカテゴリと Lambek とScottの本の勉強を始めましたが、最後の2つのテキストを調べてから久しぶりです。

動機として、以下の定理に現れるMSOロジックの種類に興味があります。私はこれらのうちの1つと表現的に同等であるロジックを処理したくありません。つまり、モナディック述語をより高次の関数でエンコードしてから別のロジックを処理したくないのですが、そのようなエンコードを含む意味論を内部で研究できてうれしいです。

（ブエチとエルゴットの定理）構造のユニバースが有限のアルファベット上の有限の単語である場合、言語はMSOで定義可能であれば正確に規則的であり、連続した位置を表すための解釈された述語があります。
（ブッチ（Buechi）の定理）構造の宇宙がある場合は有限アルファベット上-words、言語がある -regularそれが適切な解釈述語でMSOで定義可能である正確ます。 $\omega$ $\omega$
（サッチャーとライトの定理）一連の有限ツリーは、MSOで解釈可能な述語を使用して定義できる場合、ボトムアップ有限ツリーオートマトンによって正確に認識できます。
WS1Sは、1つの後継者の弱いモナド2次理論です。式は自然数のセットを定義し、2次変数は有限セットとしてのみ解釈できます。WS1Sは、自然数のタプルを有限の単語としてエンコードすることにより、有限オートマトンによって決定できます。
（ラビンの定理）S2Sは、2つの後継者の2次理論です。S2Sは、Rabin automataによって決定できます。

lo.logic ct.category-theory

— ビジェイ・D
ソース

知りません！
いいえ、あなたの仮定は正しくありません。IHOLで高次関数と述語を定量化できます（実際、述語は一種の命題の関数にすぎません）。セットアップは次のようになります。

$\begin{array}{llcl} Sort & ω & ::= & ω \to ω | ω \times ω | 1 | p r o p | ι \\ Term & t & ::= & x | λ x . t | t t^{'} | (t, t) | π_{1} (t) | π_{2} (t) | () \\ | & p \Rightarrow q | ⊤ | p \land q | ⊥ | p \lor q \\ | & \forall x : ω . p | \exists x : ω . p | t =_{ω} t^{'} \\ | & f (\vec{t}) \end{array}$ $\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$

用語の整形式を判断するために、通常のタイピング規則を指定します。項の最初の行は通常の単純型付きラムダ計算であり、2番目の2行は高次論理の命題（要素として型付き）であり、3番目の行は個人を形成するために使用する定数です（要素）。 $\mathrm{prop}$ $\iota$

次に、ハイパードクトリンセマンティクスを追加の構造で拡張することにより、1次の直観主義ロジックのクリプケセマンティクスを高次のロジックに拡張するという考えです。1次のハイパードクトリンはファンクターであり、製品を含むカテゴリー（コンテキスト内の用語を解釈するために使用される）とポーズのカテゴリー（真理値の格子）の間です。）、置換を正しく機能させるためのいくつかの条件を満たす。 $P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$ $C$

IHOLに到達するには、さらに

$C$ はデカルト閉じている（関数タイプを定量化する機能をモデル化するため）、および
$C$ は、すべての、の性質を満たす内部Heyting代数があります。を使用してをモデル化すると、同型は型の項が実際に真理値に対応することを示します。 $H$ $\Gamma \in C$ $\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$ $H$ $\mathrm{prop}$ $\mathrm{prop}$

この構造は、ほとんど「基本的なトポス」です。あなたがさらに必要な場合というのsubojectsのposetである、あなたがそこにいます。（これは本質的に、理解の原則をロジックに追加できることを意味します。） $P(\Gamma)$ $\Gamma$

— ニール・クリシュナスワミ
ソース