シフトした最大値を見つけるための線形時間アルゴリズム

非負の整数を含む配列が与えられていると仮定します（必ずしも区別されない）。 $A[1..n]$

してみましょうあること非増加順にソート。私たちは、計算したい $B$ $A$

m = max_{i \in [n]} B [i] + i .

$m = \max_{i\in [n]} B[i]+i.$

明らかな解決策は、を並べ替えてからを計算すること。これにより、最悪の場合に時間で実行されるアルゴリズムが得られます。 $A$ $m$ $O(n \lg n)$

もっと良くすることは可能ですか？線形時間でを計算できますか？ $m$

私の主な質問は上記のものです。しかし、次の問題の一般化について知ることは興味深いでしょう。

LET さ、いくつかの比較オラクルに従ってソート及び、Oracleによって与えられる機能。与えられたと神託のためと、我々は計算するのに必要な時間について何を言うことができる？ $B$ $A$ $\leq$ $f$ $A$ $\leq$ $f$ $m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i)$

それでも、時間でを計算できます。しかし、この一般化されたケースの超線形下限を証明できますか？ $m$ $O(n \lg n)$

$\leq$ $f$

— カベ
ソース

回答:

$m$

$A[0..n-1]$ $B[0..n-1]$ $m = \max_i B[i]+i$

$max = \max_i A[i]$ $max \leq m$

$A[j]$ $B[k]$ $A[j] \leq max - n$

B [k] + k \leq B [k] + (n - 1) = A [j] + (n - 1) \leq (m a x - n) + (n - 1) = m a x - 1 < m a x \leq m .

$B[k] + k \leq B[k] + (n-1) = A[j] + (n-1) \leq (max-n) + (n-1) = max-1 < max \leq m.$

$A[j]$ $A[j] \leq max - n$ $[max-n, max]$

$A$ $[max-n, max]$ $m$

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

... mmm ...しかし、C [x] = C [x] +1のコストは？！？

— マルツィオデビアージ

[M - n, M]

$[M-n, M]$

| f (B [i], i) - B [i] | = O (n)

$|f(B[i], i) - B[i]| = O(n)$

i

$i$

@Marzioに感謝します。:)わかりやすくするために、回答を少し編集しました。編集をロールバックするか、さらに編集してください。

— カベ

f (x, i)

$f(x,i)$

x

$x$

i \leq n

$i\leq n$

| f (x, i) - x | = O (n)

$|f(x,i)-x| = O(n)$

@Kaveh：編集は大丈夫です！私はすぐに答えを書いて、私はそのcorrectenessの確認さえありませんでした：-S

— マルツィオ・デ・BIASI

-1

$A$ $m = \max(A) + 1$ $B$ $1$

$f(B[i],j)$ $i = j$ $f(B[i],i)$ $i$ $\max_i f(B[i],i)$ $A$ $\Omega(n\log n)$ $A[i] = B[j]$ $f(A[i],j)$ $f$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

Aにn-1個のゼロと1個のゼロがある場合はどうなりますか？すると答えは、nは1である

— グリゴリーYaroslavtsev

A

$A$

A

$A$

B

$B$

f

$f$

o (n \lg n)

$o(n\lg n)$

f

$f$

(B [i], i)

$(B[i],i)$

f

$f$