他の複雑性クラスを分離するための障壁

ドゥナチュラル証明、相対化とAlgebrizationものような他の複雑性クラスの分離に影響などを？$L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$

たとえば、自然の証明バリアはを分離するため、証明に影響を与えるはずです。ただし、と間の関係は、と間の関係と比較して、OWFとあまり関係がないようです。では、自然な証明はより強力な分離に影響しますか？P ≠ N P N P C o N P P N P N P ≠ C o N $NP\neq CoNP$$P\neq NP$$NP$$CoNP$$P$$NP$$NP\neq CoNP$

（少なくとも）2つの領域があり、既存の障壁にはほとんど言及する必要がありません。

ACCの下限TC0が（不均一な）ACCにないことを証明するための既知の障壁はありません-分離が誤っている可能性があることを除けば。Natural ProofsバリアをACCに適用する必要があるかどうかは不明です。問題は次のように要約されます。ACCで実装可能な疑似ランダム関数があることを期待する必要がありますか？

LOGSPACE対NP Fortnowが指摘したように、スペース制限のある計算のための既存のoracleメカニズムは、LOGSPACE対NPに対する実際の障壁を提示していないようです。私の知る限り、LOGSPACEとNPの崩壊をもたらす既知のオラクルモデルは、ALTERNATING LOGSPACE（つまり、P）とALTERNATING POLYTIME（つまり、PSPACE）も崩壊します。したがって、これらのオラクルは交互の計算モデルを現実と矛盾して扱います（LOGSPACEが等しくないため） PSPACEへ）。

RazborovとRudichの自然な校正刷りの結果 は非常に一般的です。対N Pに限定されません。$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Stasys Juknaの最近の本「ブール関数の複雑さ：進歩とフロンティア」の説明の明快さが個人的に気に入っています。

定義18.30。関数とL < Nと呼ばれている（S 、ε ） -secure擬似乱数発生任意の回路用の場合CサイズのS上のn個の変数、 | P r [ C （y ）= 1 ] − P r [ C （G $G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$$l < n$$(s,\epsilon)$$C$$s$$n$yはランダムに一様に選択され、{ 0 、1 } N、および Xに { 0 、1 } L。

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ $y$$\{0,1\}^n$$x$$\{0,1\}^l$

定義18.31。してみましょうブール関数です。我々はそれを言うfがある（S 、ε ） -hard任意の回路のためであればCサイズのS、 | P r [ C （x ）= f （x ）] − $f : {0,1}^n \to {0,1}$$f$$(s,\epsilon)$$C$$s$xがランダムに一様に選択され、{0、1}N。

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ $x$$\{0,1\}^n$

擬似ランダム関数発生器は、ブール関数である。y変数をランダムに設定することにより、ランダムなサブ関数f y（x ）= f （x 、y ）が得られます。ましょう時間：{ 0 、1 } のn → { 0 、$f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$$y$$f_y(x) = f(x,y)$真にランダムなブール関数である。ジェネレータ F （X 、Yは）に対して安全である Γのすべての回路のための場合-attacks Cにおける Γ、 | P r [ C （f y）= 1 ] − P r [ C （h ）= 1 ] | < 2 − n 2$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f(x,y)$$\Gamma$$C$$\Gamma$

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

A に対して-天然証明Λは、プロパティであるΦ ：B N → 0 、1以下の3つの条件を満足する： 1.に対して有用Λ：Φ （F ）= 1を意味F ∉ Λ。 2.大きさ：Φ （F ）= 1、少なくともための2 - O （N ）全ての画分2 2 N関数F $\Gamma$$\Lambda$$\Phi : B_n \to {0,1}$
$\Lambda$$\Phi(f) = 1$$f \notin \Lambda$
$\Phi(f) = 1$$2^{−O(n)}$$2^{2^n}$。 3.構成性： Φ ∈ Γにおけるブール関数として見た場合、であり、 N = 2 n個の変数、プロパティ Φ自体がクラスに属します Γ。 $f \in B_n$
$\Phi \in \Gamma$$N = 2^n$$\Phi$$\Gamma$

定理18.35。複雑性クラスの場合 Γ-攻撃に対して安全である擬似ランダムファンクションジェネレータが含まれているし、何もありませんΓに対する-天然証明Λ。$\Lambda$$\Gamma$$\Lambda$

問題は次のとおりです。1.そのようなハード関数があるかどうかを信じますか？2.現在可能な分離証明の特性は、どれほど建設的/大規模であると期待できますか？

反対に、ラズバロフ氏はさまざまな場所で、結果を個人的には避けるべきことの指針として考え、下限を証明するための本質的な障害ではないと述べている。

過去数年間のライアンウィリアムズの論文とは別に、彼が言及した2つの論文がありました。

1. $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

2. $\mathsf{NC^1}$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{TC^0}$

相対化と代数化は少しトリッキーで、これらのクラスの相対化を定義する方法に依存しています。ただし、一般的なルールとして、単純な対角化（同じ関数を計算するすべてのマシンに同じ反例を使用する対角化、つまり、反例は、より小さな計算のどのマシンにのみ依存し、コードや計算方法には依存しません） ）これらのクラスを分離することはできません。

SATの時空間下限のような間接的な対角化の結果から非単純な対角化関数を抽出することが可能です。