TCSで最も古い未解決の問題は何ですか？

この問題は、このMOの質問に触発されており、非常に興味深いと思いました。

TCSで最も古い未解決の問題は何ですか？

明らかに、この質問には明確化が必要です。

まず、TCSとは何ですか？奇数の完全数の存在はTCSではないと思います。ヒルベルトの10番目の問題はTCS だと思います。「定規とコンパスでXを構築できますか」などの問題もTCSであると思います。これは、計算の制限されたモデルでアルゴリズムを求めているためです。TCSの問題を定義する厳密な方法はないかもしれませんが、あなたの判断を使用してください。おそらく、1つのテストは、「これが解決された場合、STOC / FOCSに表示される可能性が最も高いでしょうか。それを解決した研究者は、おそらく理論的なコンピューター科学者でしょうか？」

第二に、「最も古い」とは何ですか？私は日付で最古を意味します。記載された日付も検証可能である必要がありますが、私はこれがあまりにも難しいとは思わない。

第三に、「未解決の問題」とは何ですか？「未解決の問題」とは、特定の時点で特に未解決と見なされた問題を意味します。おそらく、それは未解決の問題のセクションの論文の最後に登場したか、一部の人々がそれに取り組んで失敗したという証拠があるかもしれませんし、研究されていることを示唆する誤った証拠があるかもしれません この基準に当てはまらないものの例：「ギリシャ人はオブジェクトXとYを研究しました。Zは明らかに中間オブジェクトであり、構築できるかどうか疑問に思いました。」その期間のZに関する文献がない場合、その期間の未解決の問題ではありません。

第四に、「問題」とはどういう意味ですか？私は特定の「はい/いいえ」の質問を意味し、「すべてのオブジェクトXをプロパティYで特徴付ける」のようなものではありません。そのような質問には満足のいく答えがないことが多いからです。多くの場合、質問が解決されたかどうかに関して意見の相違があります。ここではそのような質問に入らないようにしましょう。はい/いいえの質問ではないが、それが本当に開かれていることが明らかな場合、それも問題ありません。（これが明確でない場合、「問題」とは正式に述べられた問題を意味します。16世紀のギャンブルに関する民俗伝説をBPPとPSPACEに関する質問に変換しないでください。）

最後に、これは大きなリストの質問ではないため、既に投稿された回答よりも古いと思われる場合にのみ回答を投稿してください（または投稿された回答が他の条件を満たしていないと思われる場合-TCSではないなど）または開いていません）。これは、古い未解決の問題の無差別なコレクションではありません。

整数乗算の計算の複雑さは何ですか？ おそらく、この質問は、少なくとも1650年頃に書かれたRhind Mathematical Papyrusで説明されている整数乗算の「重複と調停」アルゴリズムにまでさかのぼりますが、かなり古い文書のコピーであると主張しています。

確かに、Rhind papyrusはアルゴリズムの複雑さを明示的に考慮しませんでした。したがって、より良い答えは、線形方程式のシステムを解く複雑さは何ですか？ 線形システムを解くための効率的なアルゴリズムの研究は、少なくとも西暦263年に出版されたLiu Huiの「The Nine Chapters on the Mathematical Art」に関する解説にまでさかのぼります。具体的には、Liu Huiは、現在ガウス消去法として認識されている2つのバリアントを比較し、それぞれで使用される算術演算の数をカウントし、より効率的な方法を見つけるという明確な目標を掲げています。

これらの質問の両方は、まだ活発な研究のターゲットです。

ファクタリングのための効率的なアルゴリズムの検索は、少なくともガウスにまでさかのぼるようです。Gauss ' Disquitiones Arithmeticae（1801）の329条には、次の引用がありました（ソース）：

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

もちろん、Gaussがファクタリングアルゴリズムから何を望んでいたかを正式に定義しなかったことは事実です。彼は同じ記事で、当時知られているすべての素数テストアルゴリズムが非常に「面倒でプロリックス」であるという事実について話しました。

以下から引用

• Goldwasser、S.およびMicali、S. 1982.確率的暗号化と、すべての部分的な情報を秘密にしてメンタルポーカーをプレイする方法。ではコンピューティングの理論第14回ACMシンポジウム（ - 07、1982サンフランシスコ、カリフォルニア、米国、5月5日）。STOC '82。ACM、ニューヨーク、NY、365-377。DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Gauss 'Disquitiones Arithmeticae（1801）にさかのぼる別の問題を参照します。

$(\frac{q}{N})=1$$(\frac{q}{N})$

PS：今では、4つのアルゴリズムの問​​題のうち 2 つがわかっています。

1. 因数分解（arnabによる言及）;
2. 二次剰余性の決定。

ガウスが説明した残りの2つの問題は何ですか？

わが国の文学には、「謎が解ければ簡単になる」という言葉があります。良い翻訳ではありませんが、解決策があれば簡単に検証できるという事実を指します。まだその前に、謎は非常に難しいようです。

これは、今では有名な「FP vs. FNP」問題を指します。FNP= FPの場合、なぞへの答えの検証はそれを見つけるのと同じくらい簡単です。それでも、FNP≠FPの場合、ソリューションを確認するよりもソリューションを見つけるのがはるかに難しい「謎」が存在します。

この問題は最も古いTCSの未解決の問題であると考えていますが、厳密な定式化はわずか30年前に遡ります！

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

編集：「ポリタイムで数値を因数分解できるか」は別のTCSの未解決の問題ですが、それでも上記の問題よりも若いと思います。

Web上のTCSの未解決の問題の2つのリストを次に示します。

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProblemsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=category/theoretical_computer_science

また、CSTheoryにもこのようなリストがあります。

いくつかの数論的集合がTCSの一部として有限であるか無限であるかという質問を含む除外数論に疑問を呈し、そうでなければ間違いなく議論します。ギリシャ人は次の質問をしました。

• 奇数の完全数はありますか？[おそらくユークリッドによって考慮される]

• 双子の素数は無限にありますか？

$TM_x$$TM_y$

そのため、これらは2つの古代のアルゴリズム問題であり、ギリシャ人は主に数論の形式で最も初期のTCSを開拓し、初期数論問題はチューリング停止問題の特殊なケースであり、その難しさの初期の状況証拠です。そして、証拠について尋ねる/見つける/検索することと決定不可能性理論の間には密接な関係があります。

おそらく新しい研究は、かつて数論の好奇心と考えられていたコラッツ予想が計算可能性理論に深く関わっており、決定不能問題と決定可能問題の境界にある可能性を示しています。また、ヒルベルトの第10問題を引用した例は、数論とTCSの間の非常に基本的なリンクを示しています。

他の2つの古代のアルゴリズムの質問：

• gcdを計算するための効率的な、または最も効率的なアルゴリズム、最大公約数は何ですか？

• 素数を計算するための効率的な、または最も効率的なアルゴリズムは何ですか？

2番目の質問はファクタリングと非常に密接に関連していますが、もちろんまったく同じではありません。それはエラトステネスのふるいとユークリッドによって考慮されました。もちろん、最近ではAKSによってPにあることが示されましたが、それでもアルゴリズムは完全に最適であると証明されていません。

euclids gcdアルゴリズム（20世紀）に対する非常に最新のTCS研究があり、フィボナッチ数が最悪の場合のパフォーマンスをもたらすことが示されました。[誰が最初にこれを見せたかわからない]

euclidsアルゴリズムが最適であることが証明されるまで、gcdの計算は間違いなく効率的です。

この答えがどれほど深刻かはわかりませんが、....

それは、質問をどれだけ広く定義するかによって異なります。

確かに「インテリジェントマシンを構築できますか？」は、CSでコンピューターサイエンスを開始した最も古い未解決の質問ですが、おそらくCSよりも1〜2年古いものです。いや？（これは理論的な質問です。マシン自体ではなく答えを求めているからです...）

インテリジェントマシンの検索への自然な参照はゴーレムです... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

一定期間、100％確実に質問に答えることができます。Hartmanis and Stearnsの独創的な論文から将来のある時点までの期間を考慮すると、TCSで未解決の最も古い問題は次のとおりです。

確定的TMのシミュレーションに必要な最小オーバーヘッドはどれくらいですか？

$T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$

$\log T(n)$