数論におけるコルモゴロフ複雑性アプリケーション

数論におけるKolmogorov Complexityの適用と証明関連分野への適用は何ですか？（Li＆Vitanyiによるモノグラフには、数論に関連するアプリケーションはあまりありません。）

私が出会った素晴らしい証拠の1つは、コルモゴロフ複雑度の定義と圧縮係数を使用して、無限の素数が存在することの証明です。

また、暗号化におけるコルモゴロフ複雑性の重要性は何ですか？

— スバヤン
ソース

コルモゴロフの複雑さに基づいた素数の無限大の証明に私を向けていただけませんか？

— Martin Berger、

@MartinBerger：Li and Vitanyiの本、またはLance Fortnowによる

— Marzio De Biasi

さて、これは少し厄介ですが、どこで出くわしたのか思い出せないようです。証明は次のようになります。infを選択するとします。集合

その結果、

正であり、

S = n_{1} 、 ん_{2} 、 。 。 。

$S = {n_1,n_2,...}$

n

$n$

、

。ここで、矛盾する目的で、素数の有限数

のみがあると仮定します

。

K (n) \geq \frac{l o g_{2} n}{2}

$K(n) \geq \frac{log_2 n}{2}$

\forall n \in S

$\forall n \in S$

p_{1} . . . p_{m}

${p_1...p_m}$

— Subhayan

[続き]だから今我々は任意表すことができる

として

。有限の数（

）の素数しかないと仮定したので、それらは固定された表現を持っています。ように

のみに依存

sが..ので、それを合計する

n_{i}

$n_i$

Σ_{j = 1}^{m} p_{j}^{v_{i, j}}

$\Sigma_{j=1}^{m}p_j^{v_{i,j}}$

m

$m$

K (n_{i})

$K(n_i)$

v_{i, j}

$v_{i,j}$

...これは、最大で

...しかし、我々は宣言

K (n_{i}) = c o n s t + Σ_{j = 1}^{m} l o g_{2} (v_{i, j} + 1)

$K(n_i) = const + \Sigma_{j=1}^{m}\ log_2(v_{i,j}+1)$

c o n s t + m . l o g_{2} l o g_{2} n_{i}

$const + m.log_2log_2n_{i}$

。 したがって）これは、

K (n) \geq \frac{l o g_{2} n}{2}

$K(n) \geq \frac{log_2 n}{2}$

\forall n \in S

$\forall n \in S$

が、これが唯一の有限数についても同様である

。したがって、私たちは矛盾に到達します

\frac{l o g_{2} n_{i}}{2} \leq m . l o g_{2} l o g_{2} n_{i}

$\frac{log_2 n_i}{2} \leq m.log_2log_2n_{i}$

n_{i}

$n_i$

— Subhayan

ランスのノートからの第二NTの例のようにI：という

番目の素数

最大である

。これは素数定理の1ログオフであり、証明はKによる素数の無限大の証明とほぼ同じくらい簡単です。複雑さ

k

$k$

p_{k}

$p_k$

p_{k} \leq k \log^{2} k

$p_k \leq k\log^2 k$

— Sasho Nikolov

回答:

すべての整数にはコルモゴロフの複雑さが関連付けられています。その整数を出力する最も短いプログラム。

ありまでプライミング素数は平均複合材料よりも低いKolmogrovの複雑さを持っているので。 $\approx {x \over ln(x)}$ $x$ 対。 $\approx ln({x \over ln(x)})$ $\approx ln(x)$

副作用として、素数間にいくつかの大きなギャップが必要です。それ以外の場合は、すべての数値を前の素数といくつかのビット数としてエンコードすることができます。

— チャドブリューベーカー
ソース

素数定理のために素数間に大きなギャップがあります。それを示すためにミックスにコルモゴロフの複雑さを追加する必要はないと思います。

— Sasho Nikolov 2013

数論は一般に整数方程式に関係しますが、ウィキペディアは、より広くは、数論のサブブランチは、有理数とそれらの間の関係による実数の近似であると述べています。後者（ディオファントス近似）で近似されているように。」

ここに、それらの線に沿った2つの論文があります。

実数のコルモゴロフの複雑さ Ludwig Staiger
ceランダム実数の特性 Cristian S. Calude

— vzn
ソース

コモルゴロフの複雑さのどの部分が整数方程式に適用できないのですか？主題が無限に関係することが多いことは事実ですが、数論も同様に可能です（たとえば、ディオファントス方程式など）。もちろん、関連する可能性のある、さまざまなリソース限定バージョンのKCがあります。たとえば、「数論は一般に整数方程式に関係している」のかどうかは、トピックへのKCの適用があるかどうかとは関係ありません。

— Steven Stadnicki 2013

ポイントは、ざっくりとしたオンライン検索で、KCを数論に直接関連付ける参照を見つけられなかったということですが、数論に隣接する方法で実数および有理近似を分析することに関連するものがあります。

— vzn

はい、私も数論におけるKCの応用について調べようとしましたが、何も見つかりませんでした。今、KCは数論におけるいくつかの問題に取り組むための良い方法のようです..いくつかの基本的な証明（アプリケーション）があるはずですhere ..

— Subhayan

-2

このリファレンスを試してください

コルモゴロフの経験的分布に関する定理から数論へ、ケビン・フォードもここに。

経験的分布関数が特定の線の片側に留まる確率の新しい推定値について説明し、数論への応用を示します。

暗号化における別の基本的な概念的な接続/ブリッジのスケッチ。は、情報源のエントロピーに関連しています。エントロピーは、ランダム性に関連する尺度として暗号化で頻繁に使用されます。たとえば、Reyzinによる「暗号化のためのエントロピーのいくつかの概念」を参照してください。 $K(x)$
ただし、警告、コルモゴロフの複雑さへの直接の参照はありません！そして、この非常に長いPhd論文/ Cachin / Maurer エントロピー測定と暗号化における無条件セキュリティによる暗号化のエントロピーに関する調査を見ると、直接の参照もありません！したがって、はエントロピーの「計算上扱いにくい」測定であり、したがって、概念的にリンクされていても、より実用的なメトリックを必要とする暗号分析では頻繁に表示されないように見えます。という感覚があるかもしれません $K(x)$ $K(x)$ 同時に、エントロピーの最も厳密な尺度でありながら、同時に最も扱いにくいものであり、この明らかな厳密なものと扱いやすいもののトレードオフの連続体における他の「より簡単な」ポイントでの他のエントロピーの尺度もある。

— vzn
ソース

-1：最初の参考文献のコルモゴロフの定理は、コルモゴロフの複雑度とは関係ありません。これは、IIDサンプルの経験的分布関数のCDFへの収束に関する有名な結果です。

— Sasho Nikolov 2013

その点で合意、oops =（

— vzn