簡単な決定問題、ハード検索問題

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ナッシュ均衡が存在するかどうかを判断するのは簡単です（常にそうです）。ただし、実際に1つを見つけるのは難しいと考えられています（PPAD完全です）。

決定バージョンは簡単ですが、検索バージョンは比較的難しい（決定バージョンと比較して）問題の他の例は何ですか？

私は、決定版が非トリバルである（ナッシュ均衡の場合とは異なり）問題に特に興味があります。

cc.complexity-theory big-list

— トラビスサービス
ソース

おそらくコミュニティのwikiする必要があります：meta.cstheory.stackexchange.com/questions/225/...

— デイブ・クラーク

2

@supercooldave：この場合、私はCWを急いではいません。些細ではないが、簡単な決定バージョンとハード検索バージョンには、自然な問題がほとんどないことが判明するかもしれません。これは必ずしも「大きなリスト」ではありません。

— ユッカスオメラ

1

私は、ヒューリスティックな大きなリスト=コミュニティWikiを使用しました。

— デイブクラーク

5

したがって、これは「検索問題に関連する自然な決定問題とは何ですか？」という質問を提起します。NEの存在は、NEに関連する自然な決定問題ではないと思います。

— カベ

1

@Kaveh：Nashの決定問題を定義できます（Nashのソリューションのエンコーディングを指定する場合）が、問題はそれがNashと同じ複雑かどうか、または正式にその決定問題がNashに還元可能かどうかです。追加の制約を満たすナッシュ均衡を見つけることは、しばしばNP困難であるため、私はそれを疑います。

— 伊藤剛

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整数が与えられた場合、それは重要な要素を持っていますか？-> Pで重要

整数が与えられ、もしあれば、自明でない因子を見つけなさい-> FPにあることが知られていない。

— スリムトン
ソース

または、あなたは尋ねることができます、それは素因を持っていますか？その後、

— Primes

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別の例を次に示します：立方体グラフGとGのハミルトニアンサイクルHが与えられ、Gの異なるハミルトニアンサイクルを見つけます。そのようなサイクルは（スミスの定理による）存在しますが、多項式時間で計算されます。

— マレク・クロバク
ソース

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次のものに、ナッシュ均衡に対して行うのと同じ「余裕」を与えると、

決定問題が「この整数の因数分解表現はありますか？」である整数因数分解（簡単に、はい）、そして検索の問題はそれを出力することです

決定問題を定義するための同じ種類の寛大な手当に、いくつかの格子問題が考えられるでしょう。

最短ベクトル問題（SVP）-最短ベクトルがあるかどうかを判断する
最も近いベクトル問題（CVP）-最も近いベクトルがあるかどうかを判断する

もちろん、これらはすべて、私が言及した決定バージョンがあまり面白くないケースです（些細なケースだからです）。それほど些細ではない1つの問題：

平面グラフ -彩色可能性 $k$ $k \ge 4$

平面グラフ4の彩色可能性の決定問題はPにあります。しかし、辞書編集で最初にそのような解を得るのはNP-hard（Khuller / Vazirani）です。

あなたが本当に興味を持っているプロパティは自己還元性（または、非自己還元性）であることに注意してください。平面グラフの色付けの問題では、色度の一般的なケースを自己還元する方法がグラフの平面性を破壊するという本質的な問題があります。 $k$

— ダニエル・アポン
ソース

18

LET 、上のランダムグラフ各エッジは確率で独立に存在する、。選択の頂点一様にランダムで、それらの間のすべてのエッジを追加します。結果のグラフ呼び出します。次いで、サイズのクリーク有する。 $G=G(n,1/2)$ $1,\ldots,n$ $1/2$ $n^{1/3}$ $G$ $H$ $H$ $n^{1/3}$

検索問題：少なくともサイズのクリークを見つけ。 $10\log n$

— user1624
ソース

とてもきちんとした！これに関する関連論文はありますか？

— アンドラスサラモン

1

@András：もう少し背景を説明するために、これは「隠れたクリーク問題」と呼ばれます。植えられた隠れたクリークがOmega（sqrt（n log n））の頂点にある場合、クリークの頂点が最も確実に最高次数の頂点であることを簡単に確認できます。[Alon-Krivelevic-Sudakov]（tau.ac.il/~nogaa/PDFS/clique3.pdf）は、スペクトル手法を使用してこれをOmega（sqrt（n））に改善します。O（log n）などのサイズの小さい隠れクリークについては、重要なことは何もわかっていません。

— arnab

Karpによって提起された別の関連する興味深い問題は、定数0 <c <1について、G（n、1/2）でサイズ（1 + c）log（n）のクリークを見つけることです。G（n、1/2）にはほぼ確実にサイズ2log（n）のクリークが存在することが知られています。唯一の多項式時間アルゴリズム（貪欲なアルゴリズムなど）は、サイズ（1 + o（1））log（n）のクリークを見つけます。

— arnab

@arnab：FeigeとRonは最近AKSの結果を単純化しました（私の質問cstheory.stackexchange.com/questions/1406/…のリファレンスを参照）。@Louigiへの私の質問は、実際には

質問についてでした。特定の定数の動機は何ですか、そしてこの質問は引用できる論文で尋ねられましたか？

10 \log n

$10\log n$

— アンドラスサラモン

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もう1つの例。サブセット-和平等：与えられたとの自然数。ピジョンホール原理は、2つのサブセットの存在を保証するによう $a_1,a_2,a_3,...,,a_n$ $\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$ $I, J$ ${1,2,..., n}$ （可能和よりサブセットであるため）。セットおよびを見つけるための多項式時間アルゴリズムの存在は、有名な未解決の問題です。 $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$ $I$ $J$

サブセット和平等（ピジョンホールバージョン）

— モハマド・アル・トルキスタニー
ソース

13

上記と同様の別の数論の例。Bertrandの仮定では、すべての正の整数と間の素数があることが知られています。しかし、与えられると、そのような素数を見つける多項式時間アルゴリズムは現在ありません。（目的のアルゴリズムはpolylog（）時間で実行する必要があります。）素数定理のために多項式時間ランダム化アルゴリズムを簡単に思い付くことができ、標準数論的予想（Cramerの予想など） $n$ $n$ $2n$ $n$ $n$ ）、しかし無条件の多項式時間決定論的アルゴリズムは知られていない。最近、Polymath4プロジェクトで関連作業が行われました。このプロジェクトに関するTaoのブログ投稿は、その概要です。

— アーナブ
ソース

1

バートランドの仮定がなくても、素数定理とAKSの素数性テストにより、予想される多項式ランタイムを備えた決定論的アルゴリズムがあります。

— ジョーフィッツシモンズ

@JoeFitzsimons、「期待される多項式ランタイムを備えた決定論的アルゴリズム」とはどういう意味かわかりません。

— チャンドラチェクリ

「決定論的」という@ChandraChekuriは、おそらく常に正しい答えが得られると言うつもりです。

— -usul

@ChandraChekuri：申し訳ありませんが、私の言葉遣いの選択は貧弱でした。私は、単純に制限されたエラーではなく、予想される多項式時間で絶対確実性を持つ素数を見つけることができることを意味しました。少なくとも、私はそれが私が意味したことだと思います。それは3年前でした。

— ジョーフィッツシモンズ

11

少し話題から外れる危険性があるので、理論Cの答えの簡単で自然な例を挙げましょう：オイラーサイクルと分散アルゴリズム。

決定問題は、オイラーグラフと非オイラーグラフの両方があるという意味で、完全に些細なことではありません。

ただし、決定問題を解決する高速でシンプルな分散アルゴリズムがあります（yesインスタンスの場合、すべてのノードが「1」を出力し、インスタンスなしの場合、少なくとも1つのノードが「0」を出力するという意味）。独自の次数のパリティであり、それに応じて0または1を出力します。

ただし、オイラーサイクルを検索する場合（各ノードが自身の近傍でサイクルの構造を出力するという意味で）、グラフ上の基本的なグローバル情報が必要です。問題が通信ラウンドを必要とすることを示す2つの例を見出すのは難しくありません。一方、ラウンドは問題を解決するのに十分です（一意のIDを想定）。 $\Omega(n)$ $O(n)$

要約すると、時間決定問題、時間検索問題、そしてこれは最悪のギャップです。 $O(1)$ $\Theta(n)$

編集：これは、グラフが接続されていることを暗黙的に想定しています（または、同等に、接続された各コンポーネントでオイラーサイクルを検索することを想定しています）。

— ユッカスオメラ
ソース

これはばかげた質問かもしれません（分散コンピューティングについてほとんど何も知らないため）が、グラフが接続されているという約束はありますか？

— 伊藤剛

ありがとう、愚かな質問ではありません。私は答えを明確にしました、ここで接続グラフを扱うという仮定を追加するのを忘れていました。（定義により連結成分間の送信情報に方法がないが、もちろん、これは明示されるべきであるように通常、分散アルゴリズムの観点から切断グラフを研究に少し点がある。）

— ユッカSuomela

ありがとう！答えを読んだ後、グラフ（=ネットワークトポロジ）が接続されていると想定されていることは明らかだったと思います。:)

— 伊藤剛

10

Tverbergパーティションを見つけることは、未知の複雑さです：

定理：レッツは、の点である、。その後、パーティションが存在するのよう $x_1,x_2,\dots, x_m$ $R^d$ $m \ge (r-1)(d+1)+1$ $S_1,S_2,\dots, S_r$ ${1,2,\dots,m}$ 。 $\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

Nash平衡の場合と同様に、パーティションは定理によって保証されますが、1つを見つけるためのポリタイムアルゴリズムが存在するかどうかはわかりません。

Gil Kalaiは、このトピックに関する素晴らしいシリーズの投稿を書いています：One、TwoおよびThree。

— スレシュ・ベンカット
ソース

2

実際、TFNPに該当する問題は、私が思うに良い候補です。定理によって答えが存在することが保証されている場合、それに付随する可能性のある解決策について、明らかにPよりも難しい検索問題を定義します。

— ダニエルアポン

7

上記のすべての例で、決定問題はPにあり、検索問題はPにあることはわかっていませんが、NP困難であることもわかっていません。私は、決定バージョンが簡単なNPハード検索問題が発生する可能性があることを指摘したいと思います。

所定の関係はのための一般充足可能性問題を考慮しブールドメイン上。インスタンスは、フォームの発現でありここで $R_1,\ldots,R_k$ $\{0,1\}$

R_{i_{1}} (t_{11}, \dots, t_{1 r_{1}}) \land \dots \land R_{i_{m}} (t_{m 1}, \dots, t_{m r_{m}})

$R_{i_1}(t_{11},\ldots,t_{1r_1}) \wedge \cdots \wedge R_{i_m}(t_{m1},\ldots,t_{mr_m})$

t_{i j}

$t_{ij}$ さんは、どちらかの変数または定数である

、および

のアリティある

これは定数とシェーファーの二分法の定理と同じ枠組みである（、場合にあなたは何を知っていますそれです）。検索の問題は次のとおりです。そのような式が与えられた場合、辞書式に最小限の解決策があればそれを見つけます。

0, 1

${0,1}$

r_{1}, \dots, r_{m}

$r_1,\ldots,r_m$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\ldots,R_k$

$R_1,\ldots,R_k$ $R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$ $k = 1$ ）。充足可能性の問題が多項式時間で解けると、辞書編集的に最小限の満足のいく割り当てが存在するかどうかの問題は簡単になります。

（少なくともこのオンラインバージョンでは）上記の論文の結果13とそれに続く例を参照してください。

— スリムトン
ソース

6

$k$ $k$
検索バージョンはNP -hard：5つの頂点を持つ誘導パスのないグラフの色数を見つけます。この論文のため。

— Peng O
ソース

$k$

4

「ペアリングに適した」楕円曲線を作成します。つまり、1つの双線形マップを持つ曲線 $e$ それに関連付けられている-と $e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$ そのような $e$ 反転することは困難です）。

このような組み合わせは、暗号化で広く使用されています。 $e$ 、Decisional Diffie-Hellman（与えられた $(g, h, g^a, h^b)$ 、決定する $a = b$ ：ただ確認する $e (g, h^b) = e (h, g^a)$ ）。ただし、検索/計算上のDiffie-Hellman問題は難しいと推測されます。

このようなグループは、「ギャップグループ」にも一般化されます。

— クリプトキャット
ソース

2

I guess Planar Perfect Matching got missed out from this list.

決定バージョンはNCにあります（カウントバージョンでも $\mathsf{NC}$ ）並列バージョン（参照 Kastelynのアルゴリズムの Mahajan-Subramanya-Vinayを）
検索バージョンはこれまでに類を見ないままです。つまり、既知の決定論はありません。 $\mathsf{NC}$ この問題のアルゴリズム（並列制限または決定論的制限のいずれかを落とす場合、よく知られているアルゴリズムがあります- エドモンズおよびマルムリー - バジラニ-バジラニ / カープ-アップファル-ウィグソン）。

— サミD
ソース

2

少し複雑さを上げましょう。

ベクトル加算システム（VAS）に関する多くの決定問題はEXPSPACEに完全ですが、はるかに大きな証人が必要になる場合があります。例えば、VASの言語が正規かどうかの決定はEXPSPACE完全である（例：Blockelet＆Schmitz、2011）が、同等の最小の有限状態オートマトンはアッカーマンサイズ（Valk＆Vidal-Naquet、1981）であるかもしれない。この大きなギャップの背後にある説明は、非規則性のはるかに小さな証人が存在するということです。

— シルヴァン
ソース