内部で頂点が互いに素な奇数長のstパスの最大数

LET 無向単純なグラフであるとlet S 、T ∈ V （Gは）別個の頂点です。単純なstパスの長さをパス上のエッジの数とします。各パスの長さが奇数で、パスの各ペアの頂点セットがsとtでのみペアで交差するように、単純なstパスのセットの最大サイズを計算することに興味があります。言い換えれば、私は内部的に頂点が互いに素な奇数長のstパスの最大数を探しています。これは、マッチングまたはフローベースの手法によって多項式時間で計算可能であるべきだと思いますが、アルゴリズムを思い付くことができませんでした。ここに私が問題について知っていることがあります。$G$$s,t \in V(G)$

1. 奇数の長さの制限を偶数の長さに置き換えることができます。sに入射するすべてのエッジを再分割すると、一方が他方に変換されるため、これは実際には問題に影響しません。

2. パスのパリティに制限がない場合、メンガーの定理は答えを与えます。これは最大フローを計算することで取得できます。

3. のみ与えられた頂点vで交差対毎頂点互いに素奇数長サイクルの最大数を決定する問題は、マッチングトリックによって多項式時間で計算可能である：の互いに素な和集合として構築グラフG」と（G − N G [ v ] ）、同じ頂点の2つのコピー間にエッジを追加します。このサイズのグラフでの最大一致| V （G ）| − | N G [ v ] | + kは、奇数サイクルの最大数が$(G - {v})$$(G - N_G[v])$$|V(G)| - |N_G[v]| + k$は kです。この構造は、Hadwigerの予想の奇数小変種の補題11の証明で説明されています。$v$$k$

4. グラフが方向付けられている場合、単一の偶数長のstパスの存在のテストは、すでにNP完全です。

5. 論文LapaughとPapadimitriouによるグラフと有向グラフの偶経路問題は関連性があるかもしれませんが、残念ながら私たちのライブラリはオンラインアーカイブを購読しておらず、紙のコピーはありません。

どんな洞察も大歓迎です！

まずなお：グラフ所与二区別頂点S 、T ∈ Vと整数Kがあるか否かを決定する問題kは間頂点互いに素奇数長経路内部S及びTは多項式でありますsとtの間にk個の偶数長のパスが存在するかどうかを判断することに相当します。削減は簡単です。あるケースから別のケースに減らすには、tに隣接する各エッジを単純に分割します。レッツG $G=(V,E)$$s,t \in V$$k$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$t$$G'$得られたグラフであること。次いで、有するKの間に奇数長頂点互いに素な経路S及びT IFF Gを'有し、Kとの間にも長頂点互いに素な経路S及びTは。$G$$k$$s$$t$$G'$$k$$s$$t$

したがって、これらの問題の1つがNP完全である場合、他の問題も同様です。Itai、Perl、およびShiloachは、sとtの間に長さ5の頂点独立経路が存在するかどうかを決定する問題がNP完全であることを示しています。Networks、Volume 12、Issue 3、277〜286、1982年。]削減は3SATからであり、構築されたグラフでは、sとtの間の奇数の長さのパスはすべて正確に5です。したがって、NP完全の頂点と素の奇数長のパスの問題、および頂点と素の偶数長のパスの問題も同様です。$k$$s$$t$$s$$t$

お役に立てれば。

（これは答えではありませんが、まだコメントできません）上記の答えは機能しないと思います。パスが頂点でばらばらになることを保証しないからです。1つのパスはu 'を使用でき、他のパスはG'で使用できます。Gでは同じ頂点uを使用します。