有界次数グラフでクリークを見つけるアルゴリズム

とグラフを考えます $n$ 頂点と最大次数 $\Delta$ 。グラフに何かあるかどうかを知りたい $s$ クリーク、どこ $s \leq \Delta$ そしてそれらの両方はに比べて小さいです $n$ 。私はそのようなクリークを1つだけ見つける必要があります（または存在しないことを証明します）

これを行う簡単な方法があります：各頂点に対して $v$ 、すべてをテスト $s$ -の隣人のサブセット $v$ 。したがって、仕事は $\approx n \binom{\Delta}{s-1}$ です。

これより効率的なアルゴリズムはありますか？指数関数的な高速化を達成することもできますか？

graph-algorithms

— デビッドハリス
ソース

あなたは持っていない

s \leq Δ

$s\leq\Delta$ ？

— ラミン

この質問に対する肯定的な回答は、クリークが

n^{o (s)}

$n^{o(s)}$ 時間で解決できることを意味します。

あることに注意してください

Δ < n

$\Delta<n$ 。または同等に、各頂点

について

クリーク問題を解決することを検討してください。

N [v]

$N[v]$

v

$v$

— Yixin Cao 2013

@Yixin、時間のかかるソリューションにも興味があります

n Δ^{c (s - 1)} / (s - 1)!

$n \Delta^{c(s-1)}/(s-1)!$ ここで、

c < 1

$c < 1$ は定数です。

— David Harris

Eppstein、Löffler、およびStrashは、Bron-Kerboschアルゴリズムを変更し、時間ですべての最大クリーク $O(dn 3^{d/3})$ をリストするアルゴリズムを取得しました。ここで、はグラフの縮退です（注意））。 $d$ $d \le \Delta$

同じ考えを縮退グラフの最大クリーク問題に拡張でき $d$ 、ランタイムを改善できます。 $O^*(2^{d/4})$

— オースティンブキャナン
ソース