審査官の問題（SAT決定インスタンス/回答の均一な生成）

コースのティーチングアシスタントは、困難な試験問題を（決定論的に）生成するプログラムを作成しました。今、彼女は対応する答えを生成するプログラムを書きたいと思っています。審査官の問題は、これが常に可能であるかどうかを尋ねます。審査官の予想を仮定して、以下のことを述べて、、それではない。問題を考え出すことはその解決策を考え出すよりも簡単です。$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

より形式的には、入力1 nで多項式時間にサイズnのブール式を生成する決定論的チューリングマシンをとします。このようなすべてのMについて、入力1 nでM （1 n）が満足のいく割り当てを持っている場合は「1」を出力し、それ以外の場合は「0」を出力する決定論的多項式時間チューリングマシンM 'が存在するかどうかを知りたい。$M$$1^n$$n$$M$$M'$$1^n$$1$$M(1^n)$$0$

と仮定すると、この質問はすでに質問または回答されていますか？答えていない場合は、追加的な仮定（の何種類例えば結果に一方向関数を？）クマのでしょうか？上記のいずれかを除いて、私の「推測」は「答える」TMが常に存在するとは限らないということですが、あなたの直感は何ですか？$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

ありがとう！

あなたが尋ねている質問は、パディングにより、単項NP =単項Pと等価であり、これはNE = Eと等価です。

タイトルから、入力の分布が「ハード」になるように入力/出力のペアを生成できるかどうかを尋ねることを意図している可能性があります。これを行う可能性は、P NPの間のどこかにあり、一方向関数が存在します。$\ne$

制限された計算モデルでは、これが可能であることが知られています。たとえば、AC 0以下のパリティまたは多数決関数の入力/出力ペアを生成できます。分布の複雑さを参照してください。$^0$

質問：レッツ式を生成します。{ M （1個のN）| N ∈ N ∧ M （1個のN）∈ S A T }に属するP？$M\in \mathsf{PF}$$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ はい：

からの多項式時間での式の生成に関する仮定は、式が簡潔に与えられることを意味します。時間n O （1 ）でそれらの充足可能性を決定します。$1^n$$n^{O(1)}$

与えられると、多項式時間でnを見つけることができます| φ | 。次に、Mとnを使用して、lg n + O （1 ）ビットでφを簡潔に記述することができます。私たちは、使用することができ、S U C C I N T S A TにおけるアルゴリズムEは、時間でこれを決定する2 O （LG N ） = N $\varphi = M(1^n)$$n$$|\varphi|$$\varphi$$\lg n+O(1)$$M$$n$$succintSAT$$\mathsf{E}$。$2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

はい ：$\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

ましょ STは、回路所与Cで単項、Mは、簡潔によりエンコードされた文字列演算Cを、それが式となる場合、結果を返し⊥さもなければ。$M \in \mathsf{PF}$$C$$M$$C$$\bot$

ことを前提としに属するP。s u c c i n c t S A Tを解くには、与えられた簡潔な式を単項式で書き、それから仮定を使って解きます。$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$$succinctSAT$

質問：インスタンスがハードになるように、多項式時間インスタンスとソリューションのペアで生成できますか？$SAT$

インスタンス自体がハードであるという意味を明確にする必要があります。インスタンス自体は（理論的には）簡単で、常にyesと言うアルゴリズムまたは常にnoと言うアルゴリズムのいずれかで解決できるためです。均一性を課すことでこの問題を回避しようとしたようです。暗号用語で考えると、敵に明らかにされていない情報がなければ、敵がプロトコルをシミュレートできるため、残りの計算を隠す意味はありません。

インスタンスとソリューションのペアを生成する多項式時間アルゴリズムがあると仮定します。それは知っていれば敵は答えを見つけるために同じアルゴリズムを使用することができおよび発見のn式から難しいことではありません。より合理的な方法は、ランダムに選択された秘密鍵を使用してこれを回避し、硬度条件を確率的に緩和することです：多項式時間アルゴリズムは高い確率で解を見つけることができません（秘密鍵を知らずに）。$n$$n$

ある効率的（決定的）アルゴリズム ランダムに選択された所与のようにK ∈ { 0 、1 } nは、 SATインスタンスのペアを生成φ Kとその回答W kは、そのようなこと のない効率的（確率/の不均一）敵対アルゴリズムDはA によって生成されたSATインスタンスを 無視できない確率で正しく解決できますか？$A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$$w_k$
$D$
$A$

またはより正式には、

$A\in \mathsf{PF}$$D \in \mathsf{P/poly}$$SAT(A(k)_1) = A(k)_2$$k$

$$\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$$

$k$$\varphi_k$$A(k)_2$

$f$$f(x)=y$$f$$y$$\varphi_{f,y}(x)$$x$$\varphi_{f,y}(x)$$SAT$$f$$f$

証明複雑性ジェネレーターに関するJan Krajicekの著書「Forcing with Random Variables」2011年の第29章と第30章も参照してください。