理論的なコンピューターサイエンスの主要な未解決問題

218

ウィキペディアは、「コンピューターサイエンスの未解決の問題」の下に2つの問題のみをリストしています。

このリストに追加すべき他の大きな問題は何ですか？

ルール：

回答ごとに1つの問題のみ
簡単な説明と関連リンクを提供します

big-list open-problem

— シェーン
ソース

1

あなたはリストを求めており、単一の答えはないので、これはコミュニティwikiとしてフラグが立てられて機能する可能性があります。

— ダニエルアポン

2

回答ごとに未解決の問題が1つあります。その後、投票で上下することで簡単に答えをランク付けできます！

— ユッカスオメラ

15

なぜ複雑性しか生じないのですか？TCSには複雑さ以上のものがあります！型理論に未解決の問題はありませんか？プログラミング言語？

— ジャックカレット

3

ジャックに追加してください:)。

— スレシュヴェンカト

8

ような基本的な問題と見なされる主要な未解決の問題と、解決されると技術的なブレークスルーを構成するが、必ずしも基本的なものではない主要な未解決の問題、たとえば指数下限回路（つまり、ゲート）。したがって、「TCSのフロンティアにおける未解決の問題」などと題された新しいコミュニティwikiを開く必要があります。

P \neq N P

$P\neq NP$

A C^{0} (6)

$AC^0(6)$

A C^{0} + \mod 6

$AC^0+\mod 6$

— Iddo Tzameret

137

乗算することができますで中で行列を行うこと操作？ $n$ $n$ $O(n^2)$

最もよく知られている上限の指数には、特別な記号ます。現在、Coppersmith-Winogradアルゴリズムにより、は約2.376 です。~~最新技術~~の素晴らしい概要は、 Sara Robinson、Towards a Optimal Algorithm for Matrix Multiplication、SIAM News、38（9）、2005年です。 $\omega$ $\omega$

更新：Andrew Stothers（2010年の論文）では、、これはVirginia Vassilevska Williamsによって（2014年7月のプレプリントで）に改善され。これらの境界は両方とも、基本的なCoppersmith-Winogradのテクニックを注意深く分析することで得られました。 $\omega < 2.3737$ $\omega < 2.372873$

さらなる更新（2014年1月30日）：FrançoisLe Gallは、ISSAC 2014（arXiv preprint）で発表された論文でであることを証明しました。 $\omega < 2.3728639$

— AndrásSalamon
ソース

またはと間の他の関数の控えめで現実的な目標はどうですか？結局、整数の乗算にはの下限があることが予想され。

O (n^{2} \log n)

$O(n^2 \log n)$

n^{2 + ϵ}

$n^{2+\epsilon}$

n^{2}

$n^2$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— ミッチ

私も行くからわからないんだけど、ために下に行く、その後はおろか、「控えめと現実的な目標」とみなされている。しかし、ある程度の進歩が見られるのは素晴らしいことなので、試してみてください！

2 + 0.376

$2+0.376$

2 + ϵ

$2+\epsilon$

2 + ϵ

$2+\epsilon$

— アンドラスサラモン

13

行列乗算指数は、すべてのに対して算術演算で十分であるように、最小の実数ように定義されます。おそらくような要因が予想されるはずです。

ω

$\omega$

O (n^{ω + ϵ})

$O(n^{\omega+\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

\log n

$\log n$

— Zeyu

2

完全を期すために、CWがバインドしたという現在の知識を数日前にバージニアウィリアムズが改善しました。そして、コミュニティの他の多くの人が指摘しているように、アンドリュー・スタザーズはバージニア州の約1年前にCWを打ち負かした。現在のレコードは

O (n^{2.373})

$O(n^{2.373})$

— Akash Kumar

私はちょうどこのここでできるようになるresearch.microsoft.com/en-us/um/people/kannan/papers/...を

— ravenが

123

グラフ同型はPにありますか？

グラフ同型（GI）の複雑さは、数十年にわたって未解決の問題でした。スティーブンクックは、SATのNP完全性に関する1971年の論文でそれについて言及しました。

2つのグラフが同型かどうかの判断は、通常、たとえばnautyやなどのソフトウェアによって迅速に行うことができますsaucy。一方、宮崎を構築インスタンスのクラスれるnauty証明可能指数時間を必要とします。

読むとCorneilは、その時点までGIの複雑さに対処する多くの試みレビュー：グラフ同型判定病、グラフ理論誌1、339から363、1977。

GIがco-NPにあることは知られていませんが、Graph Non-Isomorphism（GNI）の簡単なランダム化プロトコルがあります。したがって、GI（= co-GNI）はNP co-NPに「近い」と考えられています。 ${}\cap{}$

一方、GIがNP完全である場合、多項式階層は崩壊します。そのため、GIはNP完全ではありません。（Boppana、Håstad、Zachosは、共同NP持っショート対話証明していますか？、IPL 25、127-132、1987）

Shiva Kintaliが彼のブログでGIの複雑さについて素晴らしい議論をしています。

ラズロババイは、グラフ同型が準指数関数的時間であることを証明しました。

— AndrásSalamon
ソース

このエントリもご覧ください。

— MS Dousti

一般的なブルートフォース自己同型検出の厳密な下限を設定しました。oeis.org/A186202よりはるかに少ないそれでも指数関数的です。McKayがそれをSchrier-Simsに結合して、NAUTYの最新版がパラレルハードウェア上で実行できるようにすることを期待しています。

n!

$n!$

— チャドブルーベーカー14年

1

ババイは準多項式ランタイムの主張を撤回した。どうやら分析にエラーがありました。

— ラファエル

4

申し立てが復元されました：people.cs.uchicago.edu/~laci/update.html

— 17

91

ファクタリングの複雑さ

さファクタリングで？ $\mathsf{P}$

— カベ
ソース

Z_nでの加算および乗算変換の半群の構造に関して、ファクタリングまたは素数テストの複雑さを説明している優れた出版物はありますか？上の例の場合 [0,1,2]は0です| [1,2,0]は、x1が変換+1変換...

Z_{3}

$Z_3$

— チャドBrewbaker

72

P = BPP？

— 2回転
ソース

2

この答えも今すぐCWにする必要があります

— シェーン

2

およびNP = MA = AMなどの関連する質問

— ロビンコタリ

1

密接に関連した質問を参照してくださいcstheory.stackexchange.com/questions/64/...

— アンドラス・サラモン

66

最悪の場合の多項式実行時間を生成するシンプレックスアルゴリズムのピボットルールはありますか？より一般的には、線形計画法のための強力な多項式アルゴリズムはありますか？

— Jɛﬀ E
ソース

11

この質問に追加します。強力な多項式LPが存在しないことを示すことは、クラス分離の結果を意味しますか？

— アナンドクルカルニ

,,,とハーシュ予想...

— サリエルのHar-Peled

7

2011年、オリバー・フリードマンは、多くのピボットルールに対して指数関数的な下限を示しました（実際、ランダムファセットやランダムエッジを含む「本質的にすべて自然な」ピボットルールを主張しています）。これらの境界は、2プレイヤーパリティゲームから派生した線形プログラムを解くときに適用されます。Friedmannの論文edoc.ub.uni-muenchen.de/13294は、歴史をある程度調査しています（Hirsch予想のさまざまな形式や、Francisco Santosによる強力な形式に対する2010年の反例を含む）。

— アンドラスサラモン

63

指数関数的な時間仮説（ETH）は、 SATを解決する2、指数関数が必要と主張^Ω（n）の時間。ETHは多くのことを意味します。たとえば、SATはPに含まれないため、ETHはP≠NPを意味します。Impagliazzo、Paturi、Zaneを参照してください。どの問題が指数関数的に非常に複雑ですか？、JCSS 63、512〜530、2001。

ETHは広く信じられていますが、他の多くの複雑なクラスの分離を意味するため、証明するのは難しいと思われます。

— AndrásSalamon
ソース

4

真剣に、私はETHをP≠NPを暗示し、少なくとも証明するのが難しいので、この時点でETHを大きな未解決の問題とは呼びません。

— ホルガー

17

番号？私見、あなたの議論は、ETHがPvsNPよりも大きな未解決の問題であることを暗示しています。

— ジェフ

がETHを暗示しない理由を説明できますか？

P \neq N P

$P \ne NP$

— エミール

13

もし、次いでが、ETHは偽です。

N P = P T I M E (n^{\log n})

$NP = PTIME(n^{\log n})$

P \neq N P

$P\ne NP$

— ジェフ

3

わかったしかし、あなたはDTIME（）を意味しか？

n^{\log n}

$n^{\log n}$

— エミール

59

ImmermanとVardiは、固定小数点ロジックが順序付けられた構造のクラスでPTIMEをキャプチャすることを示しています。記述的複雑性理論の最大の未解決問題の1つは、順序への依存関係を削除できるかどうかです。

PTIMEをキャプチャするロジックはありますか？

簡単に言えば、PTIMEをキャプチャするロジックは、グラフ構造で直接動作するグラフ問題のプログラミング言語であり、頂点とエッジのエンコードにアクセスできないため、次のことが当てはまります。

構文的に正しいプログラムは、多項式時間の計算可能なグラフ問題をモデル化し、
多項式時間で計算可能なグラフの問題は、構文的に正しいプログラムでモデル化できます。

PTIMEをキャプチャするロジックがない場合、NPは実存の2次ロジックによってキャプチャされるため、。PTIMEをキャプチャするロジックは、P対NPに対する攻撃の可能性を提供します。 $P \neq NP$

非公式の議論についてはリプトンのブログを、より技術的な調査についてはM.グローエ：PTIMEをキャプチャするロジックの探求（LICS 2008）を参照してください。

— ホルガー
ソース

3

Immerman-VardiはFO（LFP）が<i> ordered </ i>構造のロジックをキャプチャすることを示しているため、これは任意の有限モデルでPTIMEをキャプチャすることに関する質問です。私があなたを正しく理解していれば、この質問はP！= NPかどうかを尋ねる翻訳ではないでしょうか？リンク先の調査で未解決の問題を1つ以上質問することをお勧めします。私がここで無知である場合、おologiesび申し上げます。

— アーロンスターリング

5

おかげで、答えを編集して、説明のためにImmerman-Vardiに言及しました。いいえ、この未解決の問題はP対NPと同等であるとは知られていません。調査の未解決の問題は、大きな未解決の問題の特殊なケースであり、このスレッドでは適切ではありません。たぶん、このリファレンスも役立つでしょう：rjlipton.wordpress.com/2010/04/05/…–

— ホルガー

55

あるユニークなゲームが推測本当？
そして：Unique Gamesには準指数時間近似アルゴリズムがあり、問題は最終的に複雑さの観点からどこにあるのでしょうか？

— Anand Kulkarni
ソース

UGCが正しくない場合（つまり、ユニークなゲームがNPに強くなく、Pよりも難しい場合）、UGCがどこに収まると言うのか、より正確ではないでしょうか？

— アンドラスサラモン

おっと。はい、私はこれを言い換えるべきです。私の意図は、非指数関数的（完全な多項式ではない）時間で非自明な近似アルゴリズムを持つユニークなゲームから生じる明らかな矛盾を強調することでした。その他：準指数ランタイムがユニークなゲームに最適な場合、これは何を意味しますか？

— ダニエルアポン

2

振り返ってみると、このプレプリントへのポインターを含めるべきだと思いました。私の意見では、それは私が答えでリンクした論文と同じくらい大きな発展です。

— ダニエルアポン

1

UCGのハードインスタンスは知られていないことに注意してください。現在の最良のアプローチは、テストされたすべてのケースで効率的に機能します。最も病理学的な例を見つけたことを証明することはできません。

— ステラ

55

恒久的対決定的

恒久的な質問と決定的な質問は、2つの事実から興味深いものです。まず、行列のパーマネントは、2部グラフの完全一致の数をカウントします。したがって、そのようなマトリックスのパーマネントは＃P-Completeです。同時に、パーマネントの定義は行列式の定義に非常に近く、最終的には単純な符号の変更のみが異なります。行列式の計算はPでよく知られています。パーマネントと行列式の違い、パーマネントを計算するのに必要な行列式計算の数を調べると、Pと#Pの関係がわかります。

— Kaveh
ソース

5

私にとっては、これは「主要な未解決問題」とはみなされません。実際の複雑性の理論的問題（複雑性は異なる）はP = NPに包含されるためです（#PはNPのスーパーセットであるため）。ここでは具体的な問題はありません。

— デビッドエップシュタイン

私は実際にこれに同意します。

— ロススナイダー

10

@DavidEppstein：Per v。detは、NP v NLのカウントアナログであるGapP v GapLに近い。、したがって可能性があります。また、per v detはP v NPよりもはるかに古く、本質的に[Polya 1913]に戻って、行列に記号を付加してそのパーマネントをその行列式に変更できないことを示しています（2x2を除く）。ヴァリアントは複雑さの重要性のためにこれらの質問にバリアントを導入しました（detのサイズをnより大きくすることができます）が、Valiant以前の作品でさえ「パーマネントの計算が難しいため...」という動機を与えます（例：ギブソン1971）

N L \neq P = N P

$NL \neq P=NP$

G a p P \neq G a p L

$GapP \neq GapL$

— ジョシュアグロチョウ

0-1行列のパーマネントを計算するための最新のアルゴリズムは何ですか？すなわち、1のサブセットから生成できる正当な順列行列の数。

— チャドブルーベーカー14年

@ChadBrewbaker：Mark Jerrum、Alistair Sinclair、Eric Vigoda、「非負のエントリを持つ行列の永続性のための多項式時間近似アルゴリズム」、Journal of the ACM 51/4（2004）、671、citeseerx.istを参照してください。 psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.141.116

— ズバンアンブルス

47

時間よりはるかに短い時間でFFTを計算できますか？ $O(n \log n)$

同じ（非常に）一般的な流れで、多くの古典的な問題またはアルゴリズムの実行時間を改善する多くの質問があります：例えば、すべてのペア最短経路（APSP）は時間？ $O(n^{3-\epsilon})$

編集：APSPは時間内に実行されます "ここで、実数の追加と比較は単位コストです（ただし、他のすべての操作には通常対数コスト）」：http : //arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf $(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

— Alex Andoni
ソース

3

FFTの興味深い開発：「*入力信号に最大でk個の非ゼロフーリエ係数がある場合のO（k log n）時間アルゴリズム、および* An O（k log n log（n / k））一般的な入力信号のリアルタイムアルゴリズム。」出典：arxiv.org/abs/1201.2501v1

— シャドック

46

スプレイツリーの動的最適性の推測。

またはより一般的には、オンラインの動的バイナリ検索ツリーはO（1）-競合的ですか？

— ジェフス
ソース

ほぼそれだけです。

— スレシュヴェンカト

O（lg n）の最悪の場合のアクセス時間をあきらめることなく、O（lg lg n）の競争力のある最新のジッパーツリーもあります。

— jbapple

45

最小スパニングツリー問題の線形時間決定論的アルゴリズム。

— Suresh Venkat
ソース

44

NP対co-NP

NP≠co-NPはP≠NPを意味するため、NP対co-NPの質問は興味深い（Pは補数の下で閉じられるため）。また、「二重性」にも関連しています。例の発見/検証と反例の発見/検証の分離です。実際、質問がNPとco-NPの両方にあることを証明することは、Pの外にあると思われる問題もNP完全ではない可能性が高いという最初の良い証拠です。

— Ross Snider
ソース

7

これは命題証明の複雑さにも関係しています。がと等しい場合、多項式命題証明システムがあります。

N P

$NP$

c o N P

$coNP$

— カベ

41

並列コンピューターでは効率的に解決できない問題はありますか？

P-completeの問題は、並列化可能であることは知られていません。P-complete問題には、Horn-SATおよび線形計画法が含まれます。しかし、これが事実であることを証明するには、並列化可能な問題（NCやLOGCFLなど）の概念をPから分離する必要があります。

コンピュータプロセッサの設計では、パフォーマンスが向上することを期待して、処理ユニットの数を増やしています。線形計画法などの基本的なアルゴリズムが本質的に並列化できない場合、重大な結果が生じます。

— アンドラス・サラモン
ソース

16

LPアルゴリズムは、今日のように、並列化できないと確信しています。MulmuleyのRAM-bit-without-operationsモデルに適合すると思います。でdx.doi.org/10.1137/S0097539794282930 K. Mulmuley。ビット操作のない並列モデルの下限。SIAM J. Comput。28（4）、1460-1509（1999）彼はそのモデルのを示し、完全問題の多くの自然な（通常は数値の）アルゴリズムは並列化できないことを示しています。これはブール値の場合の質問には答えませんが、大規模なクラスの自然なアルゴリズムに対しては答えます。

P \neq N C

$P \neq NC$

P

$P$

— ジョシュアグロチョウ

41

すべての命題トートロジーには、多項式サイズのフレージュ証明がありますか？

おそらく証明の複雑さの主要な未解決の問題：命題の証明（フレージュ証明とも呼ばれる）の超多項式サイズの下限を示します。

非公式には、Frege証明システムは、命題トートロジー（基本的な論理コースで学習する）を証明するための標準命題証明システムであり、証明線が式として書かれた公理と演rules規則を持ちます。Fregeプルーフのサイズは、プルーフを書き留めるために必要なシンボルの数です。

問題は、その後、家族があるかどうかを尋ねるない多項式が存在するために命題トートロジー式の最小フレーゲ証明サイズよう最大である、すべての（は式サイズを示します）。 $(F_n)_{n=1}^\infty$ $p$ $F_n$ $p(|F_n|)$ $n=1,2,\ldots$ $|F_n|$ $F_n$

Frege証明システムの正式な定義

定義（フレージュ規則）フレーゲ規則は、命題公式のシーケンス、場合、。場合に、フレーゲルールが呼び出され公理型。式すると言われている規則によって導出から場合全て置換のインスタンスであるにいくつかの割り当てのために、変数（すなわち、数式があります $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$ $k \le 0$ $\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$ $k = 0$ $F_0$ $F_1,\ldots,F_k$ $F_0,\ldots,F_k$ $A_1,\ldots,A_k$ $\overline x$ $B_1,\ldots,B_n$ よう全てのために。Fregeルールは、割り当てが上側の式を満たすたびに、下側式も満たす場合に健全であると言われます。 $F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$ $i=0,\ldots,k$ $A_1,\ldots,A_k$ $A_0$

定義（Frege証明）Frege規則のセットを考えると、Frege証明は、すべての証明線が公理であるか、前の証明線から指定されたFrege規則の1つによって導出された一連の数式です。シーケンスは、式で終了した場合は、証明があると言われているの証拠。Fregeプルーフのサイズは、プルーフ内のすべての式の合計サイズです。 $A$ $A$

プルーフシステムがあると言われているimplicationally完全式のすべてのセットについてあれば場合、意味論的意味、その後の証拠があるからの（おそらく）公理使用。（上記のように補助公理を使用しない場合）トートロジーのみの証明を受け入れる場合、証明システムは健全であると言われます。 $T$ $T$ $F$ $F$ $T$ $T$

定義（フレーゲ証明システム）は命題言語と有限集合が与えられる音フレーゲルールの、我々はと言うあるフレーゲ証明システムならば implicationally完了です。 $P$ $P$ $P$

Fregeルールは健全であると想定されているため、Frege証明は常に健全であることに注意してください。証明の複雑さの基本的な結果は、異なる言語であっても、2つのFrege証明システムはすべて多項式的に等価であると述べているため、特定のFrege証明システムを使用する必要はありません[Reckhow、PhD thesis、University of Toronto、1976]。

Frege証明の下限の設定は、証明するためのステップと見なすことができます。これが真である場合、命題証明システム（Fregeを含む）はすべてのトートロジーの多項式サイズ証明を持つことができないためです。 $NP \neq coNP$

— Iddo Tzameret
ソース

38

準二次時間、つまり、いくつかの時間で長さ 2つの文字列間の編集距離を計算できますか？ $n$ $O(n^{2-\epsilon})$ $\epsilon>0$

— ピョートル
ソース

8

そのための参考文献はありますか？私は実際に、この命題は些細な誤りだと思ったが、私の頭の上の証拠は考えられない。（ランタイムはエラーの数に依存するようにできることを知っていますが。）

— コンラッドルドルフ

5

更新（STOC 2015）：BackursとIndykは、2次よりも優れた時間が不可能であることの証拠を示しています。rjlipton.wordpress.com/2015/06/01/puzzling-evidenceを参照してください。

— ニールヤング

38

3SUM-hard問題に対して、真に準2次時間アルゴリズム（定数時間を意味しますか？ $O(n^{2-\delta})$ $\delta>0$

2014年、GrønlundとPettieは、で実行される3SUM自体の決定論的アルゴリズムについて説明しました。これは主要な結果ですが、超える改善は（準）対数のみです。さらに、他のほとんどの3SUM困難な問題について、同様の2次アルゴリズムは知られていません。 $O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$ $O(n^2)$

— Aryabhata
ソース

9

良い質問。ただし、3SUM問題の2次2次アルゴリズムの存在は、ランダム化されたアルゴリズムでも広く開かれています。もちろん、決定論的アルゴリズムはさらに優れていたはずです。–

— Piotr

3

量子の場合、3SUMのn log（n）の下限と上限が一致することが知られています：Andrej Dubrovsky、Oksana Scegulnaja-Dubrovska 3-Sum問題の改善された量子下限バルト海DB＆IS 2004、vol。の議事録 2、リガ、ラトビア、pp.40-45。

— マーティンシュワルツ

1

NPの問題にはn ^ 2の下限がないという印象を受けました。

— サリエルハーペレ

1

決定の問題（出力引数がない）に制限されている場合、何もわからないという印象がありました。しかし、あなたは本当に複雑な人に尋ねるべきです。

— サリエルハーペレ

3

最近のarXivの論文は、3-SUMに準2次アルゴリズムを与えることにより、この推測を解決したと主張しています。

— マンガラ14

35

BQP = P？

また、NPはBQPに含まれていますか？

これは、回答に2つの質問があることでルールに違反していることを知っていますが、P対NPの質問で取り上げた場合、それらは必ずしも独立した質問ではありません。

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

33

同型予想。（すべてのNP完全問題は「同じ」問題ですか？）
暗号化はNP完全問題に基づくことができますか？

EXP内のNPのサイズは？

（非公式に、テーブルのEXPにすべての問題があり、ランダムに一様に1つを選択した場合、選択した問題がNPにもある確率はどれくらいですか？この質問は、リソース限定メジャーの概念によって形式化されています。PがEXP内でゼロを測定していることが知られています。つまり、テーブルから拾った問題はほぼ確実にPにありません。）

— アーロンスターリング
ソース

これはComplexity Zooのp-measureと同じですか？それについてもっと読むためにどこに行きますか？

— アンドラスサラモン

2

Pメジャーは、リソースに制限されたメジャーの一例です。より一般的には、マシンがシーケンスを予測しようとしていることを想像できます。表のEXPの非公式の説明でpメジャーを使用しました。さらに読むには、Lutzによる次の調査のジャーナル版をお勧めします（CZはこの調査の会議版を引用しています）。 cs.iastate.edu/~lutz/=PAPERS/qset.ps （追記では、大丈夫だと思います）

— アーロンスターリング

ありがとう。ここではPSを読み取ることができない人のためにその論文のPDFがある：archives.cs.iastate.edu/documents/disk0/00/00/01/28/00000128-01/...

— アンドラス・サラモン

2

最初の質問にはい。PはEXPでメジャー0を持つため、NPにない場合は、P！= NPがすぐに得られます。2番目の質問については、Andrasと私がリンクした調査の28ページの最後の段落を読むことをお勧めします。（コメントにスペースを入れて、ここに貼り付けることはできません。）基本的に、NPの測定値がゼロの場合、NPハード問題のメンバーシップを「不当に」推測できる実行可能なアルゴリズムが存在します。したがって、NPはEXP内でゼロを測定していない可能性があります。

— アーロンスターリング

1

@Artem：あなたがここに始めることができ：blog.computationalcomplexity.org/2003/03/...

— アーロン・スターリング

29

Metric TSPの近似性はどのくらいですか？ 1975年のChristofidesのアルゴリズムは、多項式時間（3/2）近似アルゴリズムです。うまくやるのはNP困難ですか？

メトリックTSPを220/219より小さい係数内に近似することはNP困難です（Papadimitriou and Vempala、2006 [PS]）。私の知る限り、これは最もよく知られている下限です。
実際の限界は4/3であることを示唆するいくつかの証拠があります（Carr and Vempala、2004 [無料版] [良好版]）。
近似可能性の上限は最近引き下げられ（Mucha 2011 "13/9-Graphic TSPの近似" [ PDF ]） $13/9$

— James King
ソース

1

最近3/2で行われたメトリックTSP-eが一定（0.002付近）

— Saeed

1

Godelの失われた手紙に関するメトリックTSPの

— Artem Kaznatcheev

2

@ Saeed、Metric TSPの特別な場合にのみアルゴリズムを意味しましたか？グラフィックTSPですか？その後、Muchaによって13/9に改善されました。3/2は、Metric TSPの最もよく知られた上限であると思われます。

— アレックスゴロフネフ

@AlexGolovnev、こんにちはアレックス、はい、しかし、私のコメントは新しい論文が来る前でした;）（私はその時にOveis Gharanの論文を見ました）。

— サイード

28

指数関数的な回路の複雑さを持つ明示的な関数を与えます。

シャノンは1949年に、ブール関数をランダムに選ぶと、ほぼ1の確率で指数関数的な回路の複雑さを持っていることを証明しました。

これまでの明示的なブール関数の最適な下限は、、O. Lachish、Hによる。。森住、R。ラズ。 $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $5n - o(n)$

— Kaveh
ソース

11

問題を述べるこの方法は常に私を悩ませます。「明示的」とはどういう意味なのか注意する必要があるからです。指数関数的に複雑な回路を持つ関数の説明を書き留めることは簡単です。「明示的」が「指数関数的時間以下で計算可能」を意味する場合、これは重大な未解決の問題です。

— ライアンウィリアムズ

1

ライアン、あなたは正しい。これは非常に重要なポイントです。また、計算できない関数の説明を書き留めることも簡単です。引用した論文では、決定論的多項式時間で構成可能な関数の下限が証明されています。

— マーク

シャノンの作品についての良い説明はありますか？

— T ....

3

引数については、次の講義ノートで詳しく説明します。math.tau.ac.il

— Marc

これは素晴らしい問題であり、大学2年生のシャノンの成績を割り当てられたという懐かしい思い出を思い出させます。

— ステラ

27

密なグラフで三角形のないことをテストするクエリの複雑さは何ですか（つまり、三角形のないグラフと区別する-三角形のないこととはほど遠い）。既知の上限は指数の塔ですが、既知の下限はわずかに超多項式です。これは、30年近く開かれている極値グラフ理論/加法組み合わせ論における非常に基本的な質問です。 $\epsilon$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon$

— アルナブ
ソース

27

NEXPをBPPから分離します。人々はBPP = Pを信じる傾向がありますが、誰もNEXPをBPPから分離することはできません。

— ビンフー
ソース

26

OPは投稿ごとに1つの問題のみを要求したことは知っていますが、RTA（Rewriting Techniques and their Applications）1およびTLCA（Typed Lambda Calculi and their Applications）会議はどちらもそれぞれの分野で未解決の問題のリストを維持しています2。これらのリストは、これらの問題を解決するために行われた以前の作業へのポインターも含まれているため、非常に便利です。

— ドミニク・マリガン
ソース

1

問題ない。他の会議からの他の同様のリストを知っている人はいますか？読むのはとても面白いです。

— ドミニクマリガン

26

多項式IDテスト問題のランダム化解除

問題は以下の通りである。与えられた演算回路、多項式演算、ある同じゼロ？ $P$ $P$

この問題は、ランダム化された多項式時間で解くことができますが、決定論的な多項式時間で解けることは知られていません。

関連するのは、ShubとSmaleの予想です。多項式与えられた場合、その -complexityを、唯一の定数を使用してを計算する最小の算術回路のサイズとして定義します。単変量多項式場合、をその実根の数とします。 $\tau$ $P$ $\tau$ $\tau(P)$ $P$ $1$ $P\in\mathbb Z[x]$ $z(P)$

すべての、ような普遍定数が存在することを証明し。 $c$ $P\in\mathbb Z[x]$ $z(P)\le (1+\tau(P))^c$

— ブルーノ
ソース

25

量子PCP定理はありますか？

— ロビン・コタリ
ソース

この質問はスコット・アーロンソンのブログで少し前に言及されましたscottaaronson.com/blog/?p=139ですが、それ以降に進展があったかどうかはわかりません。

— アンソニーレベリア

この答えは更新する必要があると思います。

— カベ

@Kaveh：何を追加したいと思いますか？

— ロビンコタリ

arxiv.org/abs/1309.7495

— Kaveh

arxiv.org/abs/1201.3387

— Kaveh

25

ラムダ計算（型付きおよび型なし）には多くの未解決の問題があります。詳細については、未解決の問題のTLCAリストを参照してください。フレームのない素敵なPDFバージョンもあります。

私は特に問題5が好きです：

F_ωには型付けが、正の再帰型を使用して型付けできる用語はありますか $F_ω$

— ジャック・カレット
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3

この特定の問題のリストを示してくれたDominic Mulliganに感謝します。

— ジャックカレット

25

Pの離散対数問題はありますか？

ましょうオーダーの環式基でありおよびように、の発電機である。発見の問題ように、として知られている離散対数問題（DLP）。のビット数で最悪の多項式時間でDLPを解くための（古典的な）アルゴリズムはありますか？ $G$ $q$ $g,h \in G$ $g$ $G$ $n \in \mathbb{N}$ $g^n = h$ $q$

より簡単であると信じられているDLPのバリエーションがありますが、まだ解決されていません。計算ディフィ-ヘルマン問題（CDH）は発見を要求与えられた及び。判断のDiffie-Hellman問題（DDH）を決定する、所与を要求、もし。 $g^{a b}$ $g, g^a$ $g^b$ $g, g^a, g^b, h \in G$ $g^{a b} = h$

明らかに、CDHが硬い場合はDLPは硬く、DDHが硬い場合はCDHは硬いですが、一部のグループを除き、逆の減少は知られていません。DDHがハードであるという前提は、ElGamalやCramer-Shoupなどの一部の暗号システムのセキュリティにとって重要です。

— フェリペラセルダ
ソース

3

DLPがBQPに含まれていることはわかっています。

— ジョーフィッツシモンズ

DLPは、最近した準Pに入れ群について

G = F_{p^{n}}^{\times}

$G = \mathbb{F}_{p^n}^\times$

— マーク

24

パリティゲームは、NPとco-NPに自然な決定の問題があり、PPADとPLSに自然な検索の問題がある、2人のプレーヤーの無限期間グラフゲームです。

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

パリティゲームは多項式時間で解くことができますか？

（より一般的には、数理計画法における長年の主要な未解決の問題は、P行列線形相補性問題を多項式時間で解決できるかどうかです。）

— Rahul Savani
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23

パラメータ化された複雑さの領域には、未解決の問題があります。

意思決定の問題を考慮する

与えられたグラフサイズ頂点カバーは存在しますか？ $(G,k)$ $k$ $G$
与えられた式重み満足のいく割り当てが存在しますか $(F,k)$ $k$ $F$
与えられたグラフにサイズクリークが存在しますか？ $(G,k)$ $k$ $G$
等...

この形式には、多くの多くの組み合わせの問題が存在します。パラメータ化された複雑さは、その実行時間は、によって上制限される場合、アルゴリズムは、「効率的」であると考える任意の関数であり、定数である独立の。比較すると、このような問題はすべてで簡単に解決できることに注意してください。 $f(k)n^c$ $f$ $c$ $k$ $n^{O(k)}$

このフレームワークは、小さなコンビナトリアル構造を探しているケースをモデル化し、ソリューション/ウィットネスのサイズに関して指数関数的な実行時間を確保できます。

このようなアルゴリズムの問題（頂点カバーなど）は、Fixed Parameter Tractable（FPT）と呼ばれます。

パラメータ化された複雑さは成熟した理論であり、強力な理論的基盤と実用的なアプリケーションの両方の魅力を持っています。このような理論にとって興味深い決定問題は、自然で完全な問題を持つ非常によく構造化されたクラスの階層を形成します。

F P T \subseteq W [1] \subseteq W [2] \subseteq \dots \subseteq W [i] \subseteq W [i + 1] \subseteq \dots W [P]

$FPT \subseteq W[1] \subseteq W[2] \subseteq \ldots \subseteq W[i] \subseteq W[i+1] \subseteq \ldots W[P]$

もちろん、そのような包含のいずれかが厳格であるかどうかは公開されています。場合ことに注意してください次にSATが準指数アルゴリズムを有している（これは非自明です）。最後のステートメントは、前述のとパラメータ化された複雑さを関連付けています。 $FPT=W[1]$ $ETH$

また、このような崩壊の調査は空の演習ではないことに注意してくださいがクリークを見つけるための固定パラメーターの扱いやすいアルゴリズムがあることを証明するのと同等であることを証明します。 $W[1]=FPT$ $k$

— マッシモラウリア
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