数学ソフトウェアの証人

私は、多くの人々と同様に、MathematicaやMapleなどの数学ソフトウェアの熱心なユーザーです。ただし、このようなソフトウェアが警告なしに間違った答えを返すだけの場合が多いことに、私はますます不満を感じています。これは、単純な合計から他の多くの例の中で最適化まで、あらゆる種類の操作を実行するときに発生する可能性があります。

私はこの深刻な問題について何ができるのだろうと思っていました。必要なのは、与えられた答えの正しさをユーザーが検証できるようにして、伝えられていることにある程度自信を持たせる方法です。あなたが数学の同僚から解決策を得る場合、彼女/彼はただ座って、彼らの仕事を見せてもよいでしょう。ただし、これはほとんどの場合、コンピューターで実行することはできません。その代わりに、コンピューターは、その答えの正しさをシンプルで簡単に確認できる証言をあなたに与えることができますか？確認はコンピューターで行う必要がありますが、最初に証人を作成するためにアルゴリズムを確認するよりも、チェックアルゴリズムを確認する方がはるかに簡単であることが望まれます。これはいつ実行可能になり、どのように正確に公式化できますか

要約すると、私の質問は次のとおりです。

少なくとも理論的には、数学的ソフトウェアが、あなたが求めた答えとともに、短いチェック可能な証明を提供することは可能でしょうか？

すぐにこれを行うことができる些細なケースは、もちろん整数の分解や古典的なNP完全問題の多く（ハミルトニアン回路など）です。

1. 「証人」または「チェック可能な証拠」の概念はまったく新しいものではありません。コメントで述べたように、「証明書」の概念を探してください。3つの例が思い浮かびましたが、もっとあります（コメントなど）。

   • カート・メルホーンは、計算幾何学アルゴリズムで1999年に同様の問題を説明した（例えば、いくつかのアルゴリズムの結果に大きな誤差をもたらすことができる座標のマイナー・エラー）ライブラリーで同様の方法で解決、レダ各アルゴリズムは、「証明書」を作成することを主張することにより、答え自体に加えてその答えの。

   • 2000年にDemaine、Lopez-Ortiz、およびMunroは、証明書の概念（「証明」と呼ばれます）を使用して、ソートされたセットの和集合および交差（および違いですが、これは些細なこと）の計算の適応下限を示しました。コンピューティングエラーから保護するために証明書を使用していないため、作業を除外しないでください。最悪の場合、証明書はインスタンスのサイズに比例する可能性がありますが、多くの場合より短く、したがって「チェックできる」ことを示しました「準線形時間（ソートされた配列またはBツリーとして入力にランダムアクセスが与えられた場合）、特にそのような証明書を計算するのに必要な時間よりも短い時間。

   • Ian MunroがAlenex 2001で実装を提示して以来、特に他のさまざまな問題で証明書の概念を使用しており、特に順列（恥知らずのプラグの謝罪、もう1つが来る）で、最高の場合は証明書が短くなります最悪の場合や平均的な場合よりも、順列に対して圧縮されたデータ構造が生成されます。ここでも、証明書（つまり、順序）の確認には、計算（つまり、並べ替え）よりも線形時間しかかかりません。

2. この概念は、エラーチェックには必ずしも有用ではありません。証明書のチェックに、証明書の作成（または単に結果の作成）と同じくらい時間がかかるという問題があります。二つの例は、頭に浮かぶ些細1と複雑なもの、ブラムとKannan（コメントで述べたが）他人を与えます。

   • 要素が要素の並べ替えられていない配列にないことを証明する証明書は、比較で取得され、同時にチェックされます。$n$$n$
   • 2次元および3次元の凸包の証明書は、ポイントがランダムな順序で与えられる場合、[FOCS 2009]（他の恥知らずなプラグ）を計算するための比較と同じくらいのビットをエンコードする必要があります。

ライブラリLedaは、決定論的な証明書生成アルゴリズムを実際に標準にするための最も一般的な努力です（私が知っている）。Blum and Kannanの論文は、理論上それを標準とするために見た最善の努力ですが、彼らはこのアプローチの限界を示しています。

それが役に立てば幸い...