マトリックスの剛性と剛性の低いマトリックスの使用

ランク行列は、そのランクをnに下げる場合、リジッドであると言われます。$n$、いくつかのϵ>0について、そのエントリの少なくともn1+ϵを変更する必要があります。$\frac{n}{2}$$n^{1+\epsilon}$$\epsilon > 0$

行列Aが剛体の場合、A x （xはサイズnのベクトル）を計算する最小の直線プログラムは、超線形サイズであるか、超対数深度を持っています。$n \times n$$A$$Ax$$x$$n$

上記の声明に反論はありますか？

言い換えれば、TCSでフルランクの非自明で非自明な低剛性マトリックスへの使用はありますか？

低いランクのマトリックスに剛性の概念はありますか（いくつかの定数についてC）？$\frac{n}{c}$$c$

質問の詳細な説明がないため、回答の試行/スケッチを行います。マトリックスの剛性は、回路の下限[1]を含むTCS /複雑性理論の基本的な質問[1]に深く関連しています。[5]はいいスライド調査です。

マトリックスの剛性に関する「低」および「高」という用語は、厳密に定義された技術的な意味ではなく、非公式に使用されています。[フリードマンは「強い」剛性を定義したが。[6]]ランダムマトリックスは高い剛性を持っていることが知られていますが、基本的に、この分野での約35年前の未解決の問題は、「かなり高い」剛性を持つマトリックスを明示的に構築します。

この質問は、主観的な用語「非自明」または「非自明」をさらに定義/明確化せず、そこである程度の自由を取ります。

この分野では、コーディング理論やその他の分野でさまざまな用途/用途があるアダマール行列の剛性を調べる一連の研究があります。

証明可能なほど高い剛性の結果が、少なくとも「複雑性理論における新しい非自明な帰結」につながるという閾値を超えると言うのは公平に思えますが、アダマール行列の最もよく知られた境界では十分ではありません。しかし、これは、「低」剛性が制限されていることを最終的に証明するものでもありません。Lokamが検討したVandermonde行列 [コーディング理論への応用も]と基本的に同じ話です。[4]

言えることは、アダマール/ヴァンデルモンド行列を含むいくつかの行列で「弱い剛性の下限」が証明されたことです。

また、公開されている数値実験、推定値、またはアルゴリズムはこの地域には存在しないようです。

[1] ブール関数の複雑さ、Stasys Jukna、2011、sec 12.8「リジッドマトリックスには大きな回路が必要」

[2] マトリックスの剛性と局所的に自己修正可能なコードについて Zeev Dvir

[3] アダマール行列カシン/ラズボロフのリディジティーの下限の改善

[4] Vandermonde行列 Lokamの剛性について

[5] Mahdi Cheraghchiマトリックス剛性の話

[6] J.フリードマン。マトリックスの剛性に関する注意。Combinatorica、13（2）; 235-239、1993