多言語DFAの最小化

DFAの少し一般化に興味があります。いつものように、状態セット、有限アルファベット、でによって定義されたアクション、および初期状態ます。ただし、通常のターミナルセットの代わりに、のサブセットのファミリーを使用します。次に、多言語DFAがタプルになります。 $Q$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $Q$ $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ $q_0$ $(T_i)_{i\in 1..n}$ $Q$ $M$

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

また、は、一部の iffによって認識さ。必要をMによって認識される言語のファミリになるように定義します。 $L \subseteq \Sigma^*$ $M$ $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ $i\in 1..n$ $(L_i(M))_{i\in 1..n}$

さて、私の質問について：通常の言語のファミリー与えられた場合、上記のようにとなるような最小の多言語DFAを見つけたいすべての、つまりこのようなすべてのマシンで最小化されます。私の質問は、これを行う既知の効率的な方法はありますか、おそらく標準のDFA最小化理論に類似していますか？逆に、この問題が難しいかもしれないという証拠はありますか？ $(L_i)_{i\in 1..n}$ $M$ $L_i = L_i(M)$ $i\in 1..n$ $|Q|$

automata-theory dfa

— gdmclellan
ソース

単一のセットではなく、指定されたサブセットごとに受け入れ/非受け入れによって状態の初期セットをパーティション化することによってのみ開始するように変更された、標準のパーティション絞り込みベースのアルゴリズムは、機能するはずですすぐに。なぜでしょうか？分割する必要がある場合にのみ状態のペアを分割するため、状態の可能な限り最も粗い調整を生成します。

T_{i}

$T_i$

T

$T$

— David Eppstein、2013

@DavidEppsteinによるコメントの証明は、すべてのに対して同値関係 iffを定義すれば簡単です。ここで、はMyhill-Nerode等価関係です。その後、標準の最小化アルゴリズムと同じ方法で進めることができます。

x \sim y

$x\sim y$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i}y$

i

$i$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i} y$

— Shaull

よくわかりません。異なる終了状態を除いて同じ「セットアップ」を持つDFAの和集合の最小DFAを見つけるこの問題への答えは、それぞれのDFAがですか？また、の認識の定義は正確に意味をなさないようで、文字列と状態セットを混同しているようです。

1.. n

$1..n$

L = {. . .}

$L=\{...\}$

— vzn 2013

DavidEppsteinとShaullによるポイントは説得力があるように見えますが、商がまだ最小のオートマトンを生成することを確信する時間があるとき、私はMyhill-Nerodeの定理を検討する時間を見つけるでしょう。振り返ってみると、それは明白すぎるようです。

— gdmclellan 2013

@vzn：元のオートマトンの言語を結合したくはありません。そして重複してもよいです。たとえば、言語がとの多言語DFA は、であるがと報告できるはずです。言語の認識を定義する際に使用される表記については、表記は、すべてのについて、次の規則によって -actionにを拡張することによって定義されます。：。

T_{i}

$T_i$

A

$A$

B

$B$

s \in A

$s\in A$

s \notin B

$s\notin B$

δ

$\delta$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

Q

$Q$

q \in Q, σ \in Σ, s \in Σ^{*}

$q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$

q σ = δ (q, σ), q (s σ) = (q s) σ

$q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$

— gdmclellan 2013

短い答え。通常の言語の有限ファミリーが与えられた場合、このファミリーを認識する一意の最小決定論的完全マルチオートマトンがあります。 $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$

詳細。ケースは標準的な構成に対応し、一般的なケースは精神的にそれほど違いはありません。言語を考えるとと単語、聞かせて。同値関係定義上のに設定することによりのでを規則的で、この合同は有限率を有しています。さらに、各がによって飽和され、各、意味することが簡単にわかります $n = 1$ $L$ $u$ $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ $\sim$ $A^*$

u \sim v ⟺ for each L \in L, u^{- 1} L = v^{- 1} L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

\sim

$\sim$

a \in A

$a \in A$

u \sim v

$u \sim v$

u a \sim v a

$ua \sim va$ 。私たちはで表すとの空の言葉とによって級単語の。ましょう次のように定義された決定論的マルチオートマトンです。

1

$1$

[u]

$[u]$

\sim

$\sim$

u

$u$

A_{L} = (Q, [1], \cdot, (F_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n})

$\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$

$Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$ 、
$[u] \cdot a = [ua]$ 、
$F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$ 。

構築により、、したがってがファミリー受け入れる場合に限ります。が最小であることを証明する必要があります。厳密な代数的意味で実際には最小です（つまり、状態の数が最小であることを意味します）。ましょうおよびは2つのマルチオートマトンです。射は、からへの全射マップで、 $[1] \cdot u \in F_i$ $u \in L_i$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ $Q$ $Q'$

$f(q_-) = q'_-$ 、
以下のための、、 $1 \leqslant i \leqslant n$ $f^{-1}(F'_i) = F_i$
すべてのおよび、です。 $u \in A^*$ $q \in Q$ $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$

次に、を受け入れるアクセス可能な確定的マルチオートマトン場合、からへの射があります。これを証明するために、最初に場合、ます。ここで、はによって定義されます。ここで、はような任意の単語です。次に、が3つの必要なプロパティを満たすことを示すことができます。 $\mathcal{A}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ $u_1 \sim u_2$ $f$ $f(q) = [u]$ $u$ $q_- \cdot u = q$ $f$

最後は少し大ざっぱですが、詳細が必要な場合はお知らせください。

— J.-E. ピン
ソース